Tentukan interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

Interval penyelesaian |x^2-3x-14|≥4 adalah (-∞, -3] ∪ [-2, 5] ∪ [6, ∞). Interval penyelesaian |x^2-5x-9|>15 adalah (-∞, -3) ∪ (2, 3) ∪ (8, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan interval penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak, kita perlu memecah pertidaksamaan menjadi beberapa kasus atau menggunakan sifat-sifat nilai mutlak.

a. |x^2-3x-14| ≥ 4
Ini berarti:
x^2 - 3x - 14 ≥ 4  ATAU  x^2 - 3x - 14 ≤ -4

Kasus 1: x^2 - 3x - 14 ≥ 4
x^2 - 3x - 18 ≥ 0
Kita cari akar-akar dari x^2 - 3x - 18 = 0:
(x - 6)(x + 3) = 0
Akar-akarnya adalah x = 6 dan x = -3.
Karena parabola terbuka ke atas (koefisien x^2 positif), pertidaksamaan ≥ 0 terpenuhi saat x ≤ -3 atau x ≥ 6.

Kasus 2: x^2 - 3x - 14 ≤ -4
x^2 - 3x - 10 ≤ 0
Kita cari akar-akar dari x^2 - 3x - 10 = 0:
(x - 5)(x + 2) = 0
Akar-akarnya adalah x = 5 dan x = -2.
Karena parabola terbuka ke atas, pertidaksamaan ≤ 0 terpenuhi saat -2 ≤ x ≤ 5.

Sekarang kita gabungkan kedua interval dari Kasus 1 dan Kasus 2:
(x ≤ -3  atau  x ≥ 6)  ATAU  (-2 ≤ x ≤ 5)

Jika kita visualisasikan pada garis bilangan, gabungan dari kedua kondisi ini adalah:
x ≤ -3  atau  -2 ≤ x ≤ 5  atau  x ≥ 6.

Jadi, interval penyelesaian untuk |x^2-3x-14| ≥ 4 adalah (-∞, -3] ∪ [-2, 5] ∪ [6, ∞).

b. |x^2-5x-9| > 15
Ini berarti:
x^2 - 5x - 9 > 15  ATAU  x^2 - 5x - 9 < -15

Kasus 1: x^2 - 5x - 9 > 15
x^2 - 5x - 24 > 0
Kita cari akar-akar dari x^2 - 5x - 24 = 0:
(x - 8)(x + 3) = 0
Akar-akarnya adalah x = 8 dan x = -3.
Karena parabola terbuka ke atas, pertidaksamaan > 0 terpenuhi saat x < -3 atau x > 8.

Kasus 2: x^2 - 5x - 9 < -15
x^2 - 5x + 6 < 0
Kita cari akar-akar dari x^2 - 5x + 6 = 0:
(x - 2)(x - 3) = 0
Akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3.
Karena parabola terbuka ke atas, pertidaksamaan < 0 terpenuhi saat 2 < x < 3.

Sekarang kita gabungkan kedua interval dari Kasus 1 dan Kasus 2:
(x < -3  atau  x > 8)  ATAU  (2 < x < 3)

Jadi, interval penyelesaian untuk |x^2-5x-9| > 15 adalah (-∞, -3) ∪ (2, 3) ∪ (8, ∞).