Tentukan invers dari matriks berikut. (3 0 0 3)

Matriks inversnya adalah $\begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \ 0 & 1/3 & 0 \ 0 & 0 & 1/3 \\ \end{pmatrix}$.

Pembahasan

Untuk mencari invers dari matriks $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$, kita perlu mencari matriks B sedemikian sehingga AB = I, di mana A adalah matriks yang diberikan dan I adalah matriks identitas.

Matriks yang diberikan adalah matriks diagonal 3x3:
A = $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Matriks identitas 3x3 adalah:
I = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Misalkan invers matriks A adalah B = $\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \\ \end{pmatrix}$.
Maka AB = I:
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Melakukan perkalian matriks:
$\begin{pmatrix} 3a & 3b & 3c \ 3d & 3e & 3f \ 3g & 3h & 3i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Dengan menyamakan elemen-elemen yang bersesuaian, kita dapatkan:
3a = 1  => a = 1/3
3b = 0  => b = 0
3c = 0  => c = 0

3d = 0  => d = 0
3e = 1  => e = 1/3
3f = 0  => f = 0

3g = 0  => g = 0
3h = 0  => h = 0
3i = 1  => i = 1/3

Jadi, invers dari matriks tersebut adalah:
B = $\begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \ 0 & 1/3 & 0 \ 0 & 0 & 1/3 \\ \end{pmatrix}$

Secara umum, invers dari matriks diagonal adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen yang merupakan kebalikan dari elemen matriks aslinya.