Tentukan lima rasio trigonometri lain jika diketahui:csc

sin gamma = 12/13, cos gamma = 5/13, tan gamma = 12/5, sec gamma = 13/5, cot gamma = 5/12 (dengan asumsi gamma di kuadran I).

Pembahasan

Diketahui cosec gamma = 13/12. Kita perlu menentukan lima rasio trigonometri lainnya untuk sudut gamma.

Rasio trigonometri dasar adalah sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec), dan kotangen (cot).

Kita tahu bahwa cosecan adalah kebalikan dari sinus:
cosec gamma = 1 / sin gamma

Maka, sin gamma = 1 / cosec gamma
sin gamma = 1 / (13/12)
sin gamma = 12/13

Selanjutnya, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dasar, yaitu sin^2 gamma + cos^2 gamma = 1, untuk mencari cos gamma.

(12/13)^2 + cos^2 gamma = 1
144/169 + cos^2 gamma = 1
cos^2 gamma = 1 - 144/169
cos^2 gamma = (169 - 144) / 169
cos^2 gamma = 25/169

Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:
cos gamma = ±√(25/169)
cos gamma = ±5/13

Karena cosec gamma positif (13/12), ini berarti gamma berada di kuadran I atau II. Jika gamma di kuadran I, cos gamma positif. Jika gamma di kuadran II, cos gamma negatif. Kita akan asumsikan gamma di kuadran I untuk mendapatkan nilai positif, atau kita bisa memberikan kedua kemungkinan.

Asumsikan cos gamma = 5/13 (kuadran I).

Sekarang kita dapat mencari rasio lainnya:

Tangen (tan gamma) = sin gamma / cos gamma
tan gamma = (12/13) / (5/13)
tan gamma = 12/5

Secan (sec gamma) adalah kebalikan dari kosinus:
sec gamma = 1 / cos gamma
sec gamma = 1 / (5/13)
sec gamma = 13/5

Kotangen (cot gamma) adalah kebalikan dari tangen:
cot gamma = 1 / tan gamma
cot gamma = 1 / (12/5)
cot gamma = 5/12

Jadi, lima rasio trigonometri lainnya adalah:
1. sin gamma = 12/13
2. cos gamma = 5/13 (asumsi kuadran I)
3. tan gamma = 12/5
4. sec gamma = 13/5
5. cot gamma = 5/12

Jika cos gamma = -5/13 (kuadran II):
tan gamma = (12/13) / (-5/13) = -12/5
sec gamma = 1 / (-5/13) = -13/5
cot gamma = 1 / (-12/5) = -5/12

Jawaban di bawah ini mengasumsikan gamma berada di kuadran I.