Tentukan limit berikut ini. limit x->8 (akar(x)-2

Nilai limitnya adalah $-\frac{\sqrt{2}}{\pi}$.

Pembahasan

Untuk menentukan limit $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{2}}{\sin(\frac{1}{8}\pi x)}$, kita dapat melakukan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika substitusi menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menggunakan metode lain seperti aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Substitusi x = 8:
Pembilang: $\sqrt{8} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0$

Penyebut: $\sin(\frac{1}{8}\pi \times 8) = \sin(\pi) = 0$

Karena menghasilkan bentuk 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit yang kedua ada.

Turunan dari pembilang $f(x) = \sqrt{x} - 2\sqrt{2}$ adalah $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Turunan dari penyebut $g(x) = \sin(\frac{1}{8}\pi x)$ adalah $g'(x) = \cos(\frac{1}{8}\pi x) \times \frac{1}{8}\pi = \frac{\pi}{8}\cos(\frac{1}{8}\pi x)$.

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:
$\lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{\pi}{8}\cos(\frac{1}{8}\pi x)}$

Substitusikan x = 8:
$\frac{\frac{1}{2\sqrt{8}}}{{\frac{\pi}{8}\cos(\frac{1}{8}\pi \times 8)}} = \frac{\frac{1}{2 \times 2\sqrt{2}}}{{\frac{\pi}{8}\cos(\pi)}} = \frac{\frac{1}{4\sqrt{2}}}{{\frac{\pi}{8} \times (-1)}} = \frac{\frac{1}{4\sqrt{2}}}{-\frac{\pi}{8}}$

$\frac{1}{4\sqrt{2}} \times (-\frac{8}{\pi}) = -\frac{8}{4\pi\sqrt{2}} = -\frac{2}{\pi\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{2\pi} = -\frac{\sqrt{2}}{\pi}$

Jadi, nilai limitnya adalah $-\frac{\sqrt{2}}{\pi}$.