Diketahui x=4-akar(7) dan y=4+akar(7). Nilai x^2-y^2+2 x

Nilai dari x^2-y^2+2xy adalah 18 - 16\sqrt{7}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung nilai dari ekspresi x^2 - y^2 + 2xy dengan nilai x = 4 - \sqrt{7} dan y = 4 + \sqrt{7}.

Kita bisa menyederhanakan ekspresi tersebut terlebih dahulu. Perhatikan bahwa x^2 - y^2 + 2xy adalah bagian dari ekspansi (x+y)^2 atau bisa juga dipecah menjadi selisih kuadrat dan perkalian.

Cara 1: Substitusi langsung
x^2 = (4 - \sqrt{7})^2 = 4^2 - 2(4)(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}
y^2 = (4 + \sqrt{7})^2 = 4^2 + 2(4)(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 16 + 8\sqrt{7} + 7 = 23 + 8\sqrt{7}
2xy = 2(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7}) = 2(4^2 - (\sqrt{7})^2) = 2(16 - 7) = 2(9) = 18

Maka, x^2 - y^2 + 2xy = (23 - 8\sqrt{7}) - (23 + 8\sqrt{7}) + 18
= 23 - 8\sqrt{7} - 23 - 8\sqrt{7} + 18
= -16\sqrt{7} + 18

Cara 2: Menggunakan identitas aljabar
Perhatikan bahwa ekspresi yang diberikan adalah x^2 - y^2 + 2xy. Ini tidak secara langsung merupakan bentuk kuadrat sempurna. Namun, kita bisa melihat bahwa y^2 - 2xy + x^2 = (y-x)^2 atau x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2.

Mari kita hitung x+y dan y-x:
x + y = (4 - \sqrt{7}) + (4 + \sqrt{7}) = 4 + 4 = 8
y - x = (4 + \sqrt{7}) - (4 - \sqrt{7}) = 4 + \sqrt{7} - 4 + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}

Ekspresi yang diberikan adalah x^2 - y^2 + 2xy. Ini bisa ditulis ulang sebagai -(y^2 - x^2 - 2xy). Ini juga tidak membantu. Mari kita kembali ke substitusi.

Periksa kembali perhitungan Cara 1:
x^2 = 23 - 8\sqrt{7}
y^2 = 23 + 8\sqrt{7}
2xy = 18
x^2 - y^2 + 2xy = (23 - 8\sqrt{7}) - (23 + 8\sqrt{7}) + 18
= 23 - 8\sqrt{7} - 23 - 8\sqrt{7} + 18
= -16\sqrt{7} + 18

Mari kita cek apakah ada kesalahan dalam memahami soal atau ekspresi. Jika soalnya adalah x^2 + y^2 - 2xy, maka itu adalah (x-y)^2 = (-2\sqrt{7})^2 = 4 * 7 = 28.
Jika soalnya adalah x^2 + 2xy + y^2, maka itu adalah (x+y)^2 = 8^2 = 64.

Berdasarkan ekspresi yang diberikan: x^2 - y^2 + 2xy
Substitusi nilai x dan y:
x = 4 - \sqrt{7}
y = 4 + \sqrt{7}

x^2 = (4 - \sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}
y^2 = (4 + \sqrt{7})^2 = 16 + 8\sqrt{7} + 7 = 23 + 8\sqrt{7}
xy = (4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7}) = 16 - 7 = 9
2xy = 18

x^2 - y^2 + 2xy = (23 - 8\sqrt{7}) - (23 + 8\sqrt{7}) + 18
= 23 - 8\sqrt{7} - 23 - 8\sqrt{7} + 18
= -16\sqrt{7} + 18

Jadi, nilai dari x^2 - y^2 + 2xy adalah 18 - 16\sqrt{7}.