Tentukan limit berikut (jika ada): lim x-> 2 (2-X)/

$-1/\pi$

Pembahasan

Untuk menentukan limit $\lim_{x\to 2} \frac{2-x}{\sin(\pi x)}$, kita bisa mencoba substitusi langsung. Jika kita substitusikan x=2 ke dalam fungsi, pembilangnya menjadi $2-2 = 0$ dan penyebutnya menjadi $\sin(2\pi) = 0$. Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan ada.

Turunan dari pembilang (f(x) = 2-x) adalah f'(x) = -1.
Turunan dari penyebut (g(x) = sin(πx)) adalah g'(x) = π cos(πx).

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x\to 2} \frac{-1}{\pi \cos(\pi x)}$

Sekarang substitusikan x=2:
$\frac{-1}{\pi \cos(2\pi)}$
$\frac{-1}{\pi \times 1}$
$\frac{-1}{\pi}$

Alternatif menggunakan manipulasi:
Kita bisa memisalkan $u = x - 2$, sehingga $x = u + 2$. Ketika $x \to 2$, maka $u \to 0$. Juga, $2 - x = -u$.
$\\sin(\pi x) = \\sin(\\pi (u + 2)) = \\sin(\\pi u + 2\\pi) = \\sin(\\pi u)$ (karena sinus memiliki periode 2π).

Limitnya menjadi:
$\lim_{u\to 0} \frac{-u}{\sin(\pi u)}$

Kita tahu bahwa $\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$. Agar sesuai dengan bentuk ini, kita bisa menulis ulang:
$\lim_{u\to 0} \frac{-u}{\sin(\pi u)} = \lim_{u\to 0} \frac{-u}{\frac{\sin(\pi u)}{\pi u} \times \pi u}$
$= \lim_{u\to 0} \frac{-u}{\pi u} \times \frac{\pi u}{\sin(\pi u)}$
$= \lim_{u\to 0} \frac{-1}{\pi} \times \frac{1}{\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}}$

Karena $\lim_{u\to 0} \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} = 1$, maka:
$= \frac{-1}{\pi} \times \frac{1}{1}$
$= \frac{-1}{\pi}$

Jadi, nilai limitnya adalah $-1/\pi$.