Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut. Y

Luas = (4π - 8 - π^2) / 8

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah yang diarsir, kita perlu mengintegrasikan fungsi batas atas dikurangi fungsi batas bawah di antara titik potong kedua kurva.

Fungsi yang diberikan adalah y = sin x dan y = -x + (π/2) + 1.

Pertama, cari titik potong kedua kurva dengan menyamakan kedua persamaan:
sin x = -x + (π/2) + 1

Secara visual dari grafik, terlihat bahwa kedua kurva berpotongan pada x = π/2. Mari kita cek:
sin(π/2) = 1
-(π/2) + (π/2) + 1 = 1

Jadi, salah satu titik potong adalah di x = π/2.

Kita juga perlu mencari titik potong lainnya. Dari grafik, terlihat bahwa ada titik potong lain di sekitar x = 0. Mari kita cek:
sin(0) = 0
-(0) + (π/2) + 1 = π/2 + 1
Karena 0 ≠ π/2 + 1, maka x = 0 bukan titik potong.

Dari grafik terlihat bahwa rentang integrasi adalah dari x = π/2 hingga x = π.
Dalam rentang ini, fungsi y = -x + (π/2) + 1 berada di atas fungsi y = sin x.

Maka, luas daerah yang diarsir dihitung dengan integral:
Luas = ∫[dari π/2 sampai π] ((-x + π/2 + 1) - sin x) dx

Luas = ∫[dari π/2 sampai π] (-x + π/2 + 1 - sin x) dx

Integralkan setiap suku:
∫ -x dx = -x^2/2
∫ (π/2) dx = (π/2)x
∫ 1 dx = x
∫ -sin x dx = cos x

Jadi, integralnya adalah [-x^2/2 + (π/2)x + x + cos x] dievaluasi dari π/2 sampai π.

Evaluasi di batas atas (x = π):
-π^2/2 + (π/2)π + π + cos π
= -π^2/2 + π^2/2 + π + (-1)
= π - 1

Evaluasi di batas bawah (x = π/2):
-(π/2)^2/2 + (π/2)(π/2) + (π/2) + cos(π/2)
= -π^2/8 + π^2/4 + π/2 + 0
= -π^2/8 + 2π^2/8 + π/2
= π^2/8 + π/2

Kurangkan hasil evaluasi batas bawah dari batas atas:
Luas = (π - 1) - (π^2/8 + π/2)
Luas = π - 1 - π^2/8 - π/2
Luas = π/2 - 1 - π^2/8

Luas = (4π - 8 - π^2) / 8