Tentukan luas maksimum suatu persegi panjang yang

Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 128 cm$^2$, yang terjadi ketika persegi panjang tersebut berbentuk persegi.

Pembahasan

Untuk menentukan luas maksimum persegi panjang dengan diagonal 16 cm, kita dapat menggunakan konsep kalkulus atau sifat-sifat geometri.

Metode 1: Menggunakan Kalkulus
Misalkan panjang dan lebar persegi panjang adalah $p$ dan $l$. Diagonalnya adalah $d = 16$ cm.
Menurut teorema Pythagoras, $p^2 + l^2 = d^2$, sehingga $p^2 + l^2 = 16^2 = 256$.
Luas persegi panjang adalah $L = p 	imes l$.
Kita bisa mengekspresikan $l$ dalam $p$: $l = \sqrt{256 - p^2}$.
Maka, luasnya menjadi $L(p) = p \sqrt{256 - p^2}$.
Untuk mencari luas maksimum, kita turunkan $L(p)$ terhadap $p$ dan samakan dengan nol.
Lebih mudah jika kita turunkan $L^2$ untuk menghindari akar:
$L^2 = p^2 (256 - p^2) = 256p^2 - p^4$.
Misalkan $f(p) = 256p^2 - p^4$.
Turunannya adalah $f'(p) = 512p - 4p^3$.
Samakan dengan nol: $512p - 4p^3 = 0 
 4p(128 - p^2) = 0$.
Karena $p$ harus positif, maka $p^2 = 128$, sehingga $p = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ cm.
Jika $p = 8\sqrt{2}$, maka $l^2 = 256 - p^2 = 256 - 128 = 128$, sehingga $l = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ cm.
Jadi, persegi panjang tersebut adalah persegi dengan sisi $8\sqrt{2}$ cm.
Luas maksimumnya adalah $L = p 	imes l = (8\sqrt{2}) 	imes (8\sqrt{2}) = 64 	imes 2 = 128$ cm$^2$.

Metode 2: Menggunakan Sifat Geometri
Persegi panjang dengan diagonal tetap akan memiliki luas maksimum ketika ia berbentuk persegi.
Jika diagonalnya adalah $d$, maka sisi persegi adalah $s$.
Dengan teorema Pythagoras, $s^2 + s^2 = d^2 
 2s^2 = d^2 
 s^2 = \frac{d^2}{2}$.
Luas persegi adalah $L = s^2$.
Maka, luas maksimumnya adalah $L = \frac{d^2}{2}$.
Dengan $d = 16$ cm, luas maksimumnya adalah $L = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$ cm$^2$.