Tentukan nilai 2 p+q yang memenuhi lim _(x -> (pi)/(4))

-3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari 2p + q, kita perlu menganalisis limit yang diberikan:

lim (x→(π)/4) [p(2x - (π)/2)cos(2x) + q] / (1 - sin(2x)) = 3

Ketika x mendekati (π)/4, pembilang menjadi p(2(π)/4 - (π)/2)cos(2(π)/4) + q = p(π/2 - π/2)cos(π/2) + q = p(0)(0) + q = q.

Ketika x mendekati (π)/4, penyebut menjadi 1 - sin(2(π)/4) = 1 - sin(π/2) = 1 - 1 = 0.

Agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (yaitu 3), pembilang juga harus bernilai 0 ketika penyebut bernilai 0. Oleh karena itu, kita harus memiliki q = 0.

Sekarang, substitusikan q = 0 ke dalam limit:

lim (x→(π)/4) [p(2x - (π)/2)cos(2x)] / (1 - sin(2x)) = 3

Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena ini adalah bentuk 0/0. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:

Turunan pembilang: p[2cos(2x) + (2x - π/2)(-2sin(2x))]
Turunan penyebut: -2cos(2x)

Sekarang, terapkan limit pada turunan:

lim (x→(π)/4) [p(2cos(2x) - (4x - π)sin(2x))] / (-2cos(2x))

Substitusikan x = (π)/4:

[p(2cos(π/2) - (4(π)/4 - π)sin(π/2))] / (-2cos(π/2))
[p(2(0) - (π - π)(1))] / (-2(0))
[p(0 - 0)] / 0 = 0/0

Karena masih dalam bentuk 0/0, kita perlu menerapkan aturan L'Hopital lagi:

Turunan pembilang kedua: p[-4sin(2x) - [4sin(2x) + (4x - π)(2cos(2x))]]
Turunan penyebut kedua: 4sin(2x)

Sekarang, terapkan limit pada turunan kedua:

lim (x→(π)/4) [p(-4sin(2x) - 4sin(2x) - (8x - 2π)cos(2x))] / (4sin(2x))
lim (x→(π)/4) [p(-8sin(2x) - (8x - 2π)cos(2x))] / (4sin(2x))

Substitusikan x = (π)/4:

[p(-8sin(π/2) - (8(π)/4 - 2π)cos(π/2))] / (4sin(π/2))
[p(-8(1) - (2π - 2π)(0))] / (4(1))
[p(-8 - 0)] / 4
-8p / 4
-2p

Kita tahu bahwa limit ini sama dengan 3, jadi:

-2p = 3
p = -3/2

Karena q = 0 dan p = -3/2, maka nilai 2p + q adalah:

2p + q = 2(-3/2) + 0 = -3 + 0 = -3