Nilai lim x-)((1-cos 2x)/(2x sin 2x))

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati 0.

Bentuk limit:
lim x→0 ((1 - cos 2x) / (2x sin 2x))

Substitusi x = 0:
(1 - cos(0)) / (2*0*sin(0)) = (1 - 1) / (0 * 0) = 0/0

Karena bentuknya 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x.

Turunan pembilang (1 - cos 2x):
d/dx (1 - cos 2x) = 0 - (-sin 2x * 2) = 2 sin 2x

Turunan penyebut (2x sin 2x):
Kita gunakan aturan perkalian (u*v)' = u'v + uv'
Misal u = 2x, v = sin 2x
u' = 2
v' = cos 2x * 2 = 2 cos 2x

d/dx (2x sin 2x) = (2)(sin 2x) + (2x)(2 cos 2x)
= 2 sin 2x + 4x cos 2x

Sekarang, limitnya menjadi:
lim x→0 (2 sin 2x) / (2 sin 2x + 4x cos 2x)

Substitusi x = 0 lagi:
(2 sin 0) / (2 sin 0 + 4*0*cos 0)
(2 * 0) / (2 * 0 + 0 * 1)
0 / 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang (2 sin 2x):
d/dx (2 sin 2x) = 2 * (cos 2x * 2) = 4 cos 2x

Turunan penyebut (2 sin 2x + 4x cos 2x):
Turunan dari 2 sin 2x adalah 4 cos 2x.
Untuk 4x cos 2x, gunakan aturan perkalian:
(4)(cos 2x) + (4x)(-sin 2x * 2)
= 4 cos 2x - 8x sin 2x

Jadi, turunan penyebutnya adalah: 4 cos 2x + 4 cos 2x - 8x sin 2x = 8 cos 2x - 8x sin 2x

Sekarang, limitnya menjadi:
lim x→0 (4 cos 2x) / (8 cos 2x - 8x sin 2x)

Substitusi x = 0:
(4 cos 0) / (8 cos 0 - 8*0*sin 0)
(4 * 1)
(8 * 1 - 0)
4 / 8
= 1/2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.