Tentukan nilai a yang memenuhi persamaan berikut,lim x->-2

a = -11

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan limit fungsi.
Kita diminta untuk menentukan nilai a yang memenuhi persamaan:
lim x→-2 (x^4 - 16) / (x + 2) = 3a + 1

Pertama, kita perlu mengevaluasi limit di sisi kiri.
Jika kita substitusikan x = -2 langsung ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0:
(-2)^4 - 16 = 16 - 16 = 0
-2 + 2 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut. Kita dapat memfaktorkan pembilang (x^4 - 16) sebagai selisih dua kuadrat:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)

Selanjutnya, kita bisa memfaktorkan (x^2 - 4) lagi sebagai selisih dua kuadrat:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Jadi, pembilang menjadi: (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4).

Sekarang, kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi limit:
lim x→-2 [(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)] / (x + 2)

Karena x mendekati -2, x ≠ -2, sehingga (x + 2) ≠ 0. Kita dapat membatalkan faktor (x + 2) di pembilang dan penyebut:
lim x→-2 (x - 2)(x^2 + 4)

Sekarang kita bisa mensubstitusikan x = -2 ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
(-2 - 2)((-2)^2 + 4)
= (-4)(4 + 4)
= (-4)(8)
= -32

Jadi, nilai limitnya adalah -32.

Sekarang kita samakan hasil limit ini dengan sisi kanan persamaan:
-32 = 3a + 1

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan linear untuk a:
-32 - 1 = 3a
-33 = 3a
a = -33 / 3
a = -11

Jadi, nilai a yang memenuhi persamaan tersebut adalah -11.