Tentukan nilai dari:integral 0 1 (3 x+1)^3 dx=...

85/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari (3x + 1)^3 dx dari 0 sampai 1, kita dapat menggunakan metode substitusi atau ekspansi binomial.

Metode Ekspansi Binomial:
(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 + 1^3
= 27x^3 + 3(9x^2) + 9x + 1
= 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1

Sekarang kita integralkan:
∫(27x^3 + 27x^2 + 9x + 1) dx
= (27/4)x^4 + (27/3)x^3 + (9/2)x^2 + x
= (27/4)x^4 + 9x^3 + (9/2)x^2 + x

Sekarang kita evaluasi dari 0 sampai 1:
[(27/4)(1)^4 + 9(1)^3 + (9/2)(1)^2 + 1] - [(27/4)(0)^4 + 9(0)^3 + (9/2)(0)^2 + 0]
= [(27/4) + 9 + (9/2) + 1] - [0]
= 27/4 + 10 + 9/2

Samakan penyebutnya menjadi 4:
= 27/4 + 40/4 + 18/4
= (27 + 40 + 18) / 4
= 85/4

Metode Substitusi:
Misalkan u = 3x + 1.
Maka du/dx = 3, sehingga dx = du/3.

Batas integral berubah:
Jika x = 0, u = 3(0) + 1 = 1.
Jika x = 1, u = 3(1) + 1 = 4.

Integral menjadi:
∫[dari u=1 sampai u=4] u^3 * (du/3)
= (1/3) ∫[dari u=1 sampai u=4] u^3 du

Integralkan u^3:
= (1/3) * [u^4 / 4] [dari u=1 sampai u=4]

Evaluasi batasnya:
= (1/3) * [(4^4 / 4) - (1^4 / 4)]
= (1/3) * [(256 / 4) - (1 / 4)]
= (1/3) * [64 - 1/4]

Samakan penyebutnya:
= (1/3) * [256/4 - 1/4]
= (1/3) * [255/4]
= 255 / 12

Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
= 85 / 4

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah 85/4.