Tentukan nilai dari lim: f(x)=lim _(x -> 0) (2 x tan 3

Gunakan identitas trigonometri $1 - \cos^2 4x = \sin^2 4x$ dan sifat limit $\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$. Hasilnya adalah 3/8.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{2x \tan 3x}{1 - \cos^2 4x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Identitas trigonometri yang relevan adalah $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
Maka, $1 - \cos^2 4x = \sin^2 4x$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{2x \tan 3x}{\sin^2 4x}$

Kita tahu bahwa $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, sehingga $\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{2x \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{\sin^2 4x}$
$\\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin 3x}{(\cos 3x)(\sin^2 4x)}$

Gunakan limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ dan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$.
Kita perlu menyesuaikan ekspresi agar sesuai dengan bentuk limit ini:
$\\lim_{x \to 0} \frac{2x}{1} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{1} \cdot \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{(\frac{\sin 4x}{4x})^2} \cdot \frac{(4x)^2}{1}$

$\\lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot 3x}{(\cos 3x) \cdot (16x^2)} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{(\frac{\sin 4x}{4x})^2}$

$\\lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{(\cos 3x) \cdot 16x^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1^2}$

$\\lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{16x^2 \cos 3x}$

$\\lim_{x \to 0} \frac{6}{16 \cos 3x}$

Karena $\lim_{x \to 0} \cos 3x = \cos(0) = 1$, maka:
$\\frac{6}{16 \cdot 1} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\frac{3}{8}$.