Hitunglah limit berikut ini.lim x mendekati tak hingga

2

Pembahasan

Untuk menghitung limit berikut ini: \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)\), kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan sekawan untuk menghilangkan bentuk tak tentu.\

Bentuk limit ini adalah \(\infty - \infty\), yang merupakan bentuk tak tentu.

Langkah 1: Kalikan dengan sekawan dari ekspresi.\
Sekawan dari \(\sqrt{x^2+2x} - x\) adalah \(\sqrt{x^2+2x} + x\).

\(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x} - x)(\sqrt{x^2+2x} + x)}{(\sqrt{x^2+2x} + x)}\\\)

Langkah 2: Gunakan rumus selisih kuadrat \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) di pembilang.\
\(\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+2x) - x^2}{(\sqrt{x^2+2x} + x)}\\\)

Langkah 3: Sederhanakan pembilang.\
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(\sqrt{x^2+2x} + x)}\\\)

Langkah 4: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut. Pangkat tertinggi di penyebut adalah x (dari \(\sqrt{x^2}\) = x).
Kita perlu mengeluarkan x dari akar kuadrat di penyebut. Ingat bahwa untuk \(x \to \infty\), \(x > 0\), jadi \(\sqrt{x^2} = x\).

\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x/x}{(\sqrt{x^2/x^2 + 2x/x^2} + x/x)}\\\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2}{(\sqrt{1/x + 2/x^2} + 1)}\\\)

Langkah 5: Substitusikan \(x \to \infty\) ke dalam ekspresi.
Saat \(x \to \infty\), \(1/x \to 0\) dan \(2/x^2 \to 0\).

\(\frac{2}{(\sqrt{0 + 0} + 1)} = \frac{2}{(\sqrt{0} + 1)} = \frac{2}{(0 + 1)} = \frac{2}{1} = 2\)

Jadi, nilai limitnya adalah 2.