Nilai minimum dari bentuk 3x+6y yang memenuhi syarat bahwa

21 (dengan asumsi ada kesalahan pengetikan pada soal)

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari bentuk 3x + 6y yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, kita perlu menggunakan metode program linear. Syarat-syaratnya adalah:
1. 2x ≤ 3y
2. 2x ≥ y
3. x = 2y ≤ 20
4. x + y ≥ 5

Kita ubah syarat-syarat ini menjadi pertidaksamaan garis:
1. 2x - 3y ≤ 0
2. 2x - y ≥ 0
3. x - 2y ≤ 20 (dan x = 2y, yang berarti x - 2y = 0. Jadi, ini adalah garis x=2y)
4. x + y ≥ 5

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan ini.
Dari x = 2y, kita substitusikan ke pertidaksamaan lain:

Substitusi x=2y ke pertidaksamaan 1: 2(2y) - 3y ≤ 0 => 4y - 3y ≤ 0 => y ≤ 0. Karena x=2y, maka x ≤ 0.

Substitusi x=2y ke pertidaksamaan 4: (2y) + y ≥ 5 => 3y ≥ 5 => y ≥ 5/3. Karena x=2y, maka x ≥ 10/3.

Jadi, kita memiliki kendala y ≥ 5/3 dan y ≤ 0 dari pertidaksamaan 1 dan 4 jika kita hanya menggunakan x=2y. Namun, ini kontradiktif.
Mari kita periksa kembali syarat 3: 'x = 2y <= 20'. Ini berarti ada dua syarat: x = 2y dan 2y ≤ 20 (atau y ≤ 10). Juga x ≤ 20.

Jika kita menggunakan x = 2y, maka:
Dari 2x - 3y ≤ 0 menjadi 2(2y) - 3y ≤ 0 => y ≤ 0. Ini berarti x ≤ 0.
Dari 2x - y ≥ 0 menjadi 2(2y) - y ≥ 0 => 3y ≥ 0 => y ≥ 0. Ini berarti x ≥ 0.
Dari x + y ≥ 5 menjadi 2y + y ≥ 5 => 3y ≥ 5 => y ≥ 5/3. Ini berarti x ≥ 10/3.

Jadi, dari x=2y, kita mendapatkan y=0 dan y>=5/3, yang tidak mungkin terjadi bersamaan. Ini menunjukkan bahwa garis x=2y tidak sepenuhnya berada dalam daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan lainnya, atau ada interpretasi lain dari soal.

Mari kita anggap syarat 3 adalah x ≤ 2y dan 2y ≤ 20, atau 2x ≤ y dan x ≤ 20, atau interpretasi lain yang konsisten.

Asumsi yang paling mungkin adalah bahwa syarat 3 sebenarnya adalah '2x ≤ 3y', '2x ≥ y', 'x ≤ 20', dan 'y ≤ 10' (dari 2y ≤ 20), bersama dengan 'x + y ≥ 5'. Tapi ini tidak menggunakan 'x=2y'.

Jika kita menginterpretasikan 'x = 2y <= 20' sebagai 'x = 2y' DAN '2y <= 20' (atau y <= 10), DAN jika kita mengabaikan 'x = 2y' dan hanya menggunakan '2x <= 3y', '2x >= y', 'x <= 20', 'y <= 10', 'x + y >= 5', kita akan mencari titik pojok.

Namun, jika kita menganggap 'x = 2y' sebagai salah satu batasan utama:

Pertidaksamaan 1: 2x - 3y ≤ 0.
Garis 1: 2x - 3y = 0.

Pertidaksamaan 2: 2x - y ≥ 0.
Garis 2: 2x - y = 0.

Pertidaksamaan 3: x - 2y = 0 (karena x = 2y).
Garis 3: x - 2y = 0.

Pertidaksamaan 4: x + y ≥ 5.
Garis 4: x + y = 5.

Kita perlu mencari titik potong garis-garis ini.

Titik potong Garis 1 (2x-3y=0) dan Garis 2 (2x-y=0):
2x = 3y dan 2x = y. Maka 3y = y => 2y = 0 => y = 0. Jika y=0, maka x=0. Titik (0,0).

Titik potong Garis 1 (2x-3y=0) dan Garis 3 (x-2y=0):
Dari Garis 3, x = 2y. Substitusi ke Garis 1: 2(2y) - 3y = 0 => 4y - 3y = 0 => y = 0. Jika y=0, maka x=0. Titik (0,0).

Titik potong Garis 2 (2x-y=0) dan Garis 3 (x-2y=0):
Dari Garis 3, x = 2y. Substitusi ke Garis 2: 2(2y) - y = 0 => 4y - y = 0 => 3y = 0 => y = 0. Jika y=0, maka x=0. Titik (0,0).

Ini menunjukkan bahwa ketiga garis pertama berpotongan di (0,0).

Sekarang kita perlu mempertimbangkan pertidaksamaan x + y ≥ 5.

Mari kita periksa daerah yang memenuhi:
1. 2x ≤ 3y
2. 2x ≥ y
3. x = 2y
4. x + y ≥ 5

Dari (3), x = 2y. Substitusikan ke (1): 2(2y) ≤ 3y => 4y ≤ 3y => y ≤ 0. Jika y ≤ 0, maka x ≤ 0.
Substitusikan x = 2y ke (2): 2(2y) ≥ y => 4y ≥ y => 3y ≥ 0 => y ≥ 0. Jika y ≥ 0, maka x ≥ 0.

Kita mendapatkan y ≤ 0 dan y ≥ 0, yang berarti satu-satunya kemungkinan adalah y = 0, sehingga x = 0. Titik (0,0).
Namun, syarat (4) adalah x + y ≥ 5. Jika x=0 dan y=0, maka 0 + 0 ≥ 5, yang salah.

Ini menyiratkan bahwa tidak ada daerah penyelesaian yang memenuhi semua syarat tersebut jika 'x = 2y' diartikan sebagai batasan yang ketat. 

Mungkin ada kesalahan pengetikan pada soal. Jika syarat ketiga adalah 'x ≤ 2y' atau '2x ≤ y' atau 'x ≥ 2y' atau '2x ≥ y', hasilnya akan berbeda.

Asumsi lain: Mungkin syarat 3 'x = 2y <= 20' berarti x = 2y, dan kedua nilai x dan y harus kurang dari atau sama dengan 20, tetapi ini tidak mengubah fakta bahwa x = 2y dan y <= 10.

Jika soalnya adalah mencari nilai minimum dari 3x+6y pada daerah yang dibatasi oleh garis:
2x - 3y = 0
2x - y = 0
x + y = 5

Titik potong 2x - 3y = 0 dan x + y = 5:
x = 5 - y. Substitusi ke 2x - 3y = 0 => 2(5 - y) - 3y = 0 => 10 - 2y - 3y = 0 => 10 - 5y = 0 => y = 2. Jika y = 2, maka x = 5 - 2 = 3. Titik (3,2).

Titik potong 2x - y = 0 dan x + y = 5:
2x = y. Substitusi ke x + y = 5 => x + 2x = 5 => 3x = 5 => x = 5/3. Jika x = 5/3, maka y = 2x = 10/3. Titik (5/3, 10/3).

Titik potong 2x - 3y = 0 dan 2x - y = 0 adalah (0,0), yang tidak memenuhi x + y ≥ 5.

Jadi, titik-titik pojok yang relevan adalah (3,2) dan (5/3, 10/3).

Evaluasi fungsi objektif 3x + 6y:
Di titik (3,2): 3(3) + 6(2) = 9 + 12 = 21.
Di titik (5/3, 10/3): 3(5/3) + 6(10/3) = 5 + 20 = 25.

Nilai minimum adalah 21.

Namun, ini mengabaikan syarat x = 2y. Jika kita memasukkan x = 2y ke dalam pertidaksamaan lain:

1. 2(2y) ≤ 3y => 4y ≤ 3y => y ≤ 0.
2. 2(2y) ≥ y => 4y ≥ y => y ≥ 0.
3. x = 2y, dan dari 2y ≤ 20 => y ≤ 10.
4. 2y + y ≥ 5 => 3y ≥ 5 => y ≥ 5/3.

Dari y ≤ 0 dan y ≥ 0, kita dapatkan y = 0, sehingga x = 0.
Dari y ≥ 5/3, kita punya y ≥ 1.67.

Tidak ada nilai y yang memenuhi y ≤ 0 dan y ≥ 5/3 secara bersamaan.

Karena soal ini tampaknya memiliki kontradiksi internal, saya akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa ada kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah mencari nilai minimum pada daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang terbentuk dari pertidaksamaan tersebut, dengan titik potong yang valid.

Jika kita mengasumsikan syarat 'x = 2y <= 20' berarti x = 2y dan kita perlu mencari nilai minimum pada garis x=2y di mana 2x >= y dan x+y >= 5, serta 2x <= 3y.

Garis x=2y:

Substitusi x=2y ke 2x >= y => 2(2y) >= y => 4y >= y => 3y >= 0 => y >= 0. (x >= 0)
Substitusi x=2y ke x+y >= 5 => 2y+y >= 5 => 3y >= 5 => y >= 5/3. (x >= 10/3)
Substitusi x=2y ke 2x <= 3y => 2(2y) <= 3y => 4y <= 3y => y <= 0. (x <= 0)

Lagi-lagi kita mendapatkan kontradiksi antara y >= 5/3 dan y <= 0.

Mungkin ada kesalahan dalam soal. Namun, jika kita mengabaikan syarat 'x = 2y' dan hanya menggunakan:
2x ≤ 3y
2x ≥ y
x + y ≥ 5
dan kita mencari nilai minimum 3x + 6y.

Garis batas:
2x - 3y = 0
2x - y = 0
x + y = 5

Titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan:
1. Titik potong 2x - y = 0 dan x + y = 5 adalah (5/3, 10/3). Nilai 3x+6y = 3(5/3)+6(10/3) = 5 + 20 = 25.
2. Titik potong 2x - 3y = 0 dan x + y = 5 adalah (3, 2). Nilai 3x+6y = 3(3)+6(2) = 9 + 12 = 21.

Nilai minimum adalah 21.

Jika kita harus menggunakan x=2y, dan bahwa x=2y HARUS terpenuhi, maka tidak ada solusi yang valid karena kontradiksi dengan pertidaksamaan lainnya.

Untuk memberikan jawaban, saya akan berasumsi bahwa soal ini mengacu pada daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang terkait dengan pertidaksamaan tersebut, dan titik pojoknya adalah persimpangan dari garis-garis tersebut.

Jika kita menganggap syarat ketiga adalah x ≤ 2y, dan 2y ≤ 20 (y ≤ 10):
1. 2x ≤ 3y
2. 2x ≥ y
3. x ≤ 2y
4. y ≤ 10
5. x + y ≥ 5

Fungsi tujuan: Z = 3x + 6y

Titik potong yang mungkin adalah:
- Garis 2x = y dan x + y = 5 => (5/3, 10/3). Z = 25.
- Garis 2x = 3y dan x + y = 5 => (3, 2). Z = 21.
- Garis x = 2y dan x + y = 5 => (10/3, 5/3). Z = 3(10/3)+6(5/3) = 10+10 = 20.

Sekarang kita perlu memeriksa apakah titik-titik ini memenuhi pertidaksamaan lainnya.

Untuk titik (5/3, 10/3):
1. 2(5/3) ≤ 3(10/3) => 10/3 ≤ 10 (Benar)
2. 2(5/3) ≥ 10/3 => 10/3 ≥ 10/3 (Benar)
3. 5/3 ≤ 2(10/3) => 5/3 ≤ 20/3 (Benar)
4. 10/3 ≤ 10 (Benar)
5. 5/3 + 10/3 = 15/3 = 5 ≥ 5 (Benar)

Jadi, (5/3, 10/3) adalah titik pojok yang valid. Nilai Z = 25.

Untuk titik (3, 2):
1. 2(3) ≤ 3(2) => 6 ≤ 6 (Benar)
2. 2(3) ≥ 2 => 6 ≥ 2 (Benar)
3. 3 ≤ 2(2) => 3 ≤ 4 (Benar)
4. 2 ≤ 10 (Benar)
5. 3 + 2 = 5 ≥ 5 (Benar)

Jadi, (3, 2) adalah titik pojok yang valid. Nilai Z = 21.

Untuk titik (10/3, 5/3):
1. 2(10/3) ≤ 3(5/3) => 20/3 ≤ 5 => 20/3 ≤ 15/3 (Salah)

Jadi, titik (10/3, 5/3) tidak valid.

Titik pojok lainnya bisa jadi persimpangan dari batas-batas yang belum dipertimbangkan secara penuh, misalnya batas y=10 atau batas x=20 (jika itu maksudnya). Namun, dengan syarat yang ada, nilai minimum yang ditemukan adalah 21.

Jika kita kembali ke interpretasi asli soal dengan 'x = 2y <= 20': ini berarti x = 2y DAN 2y <= 20 (y <= 10).

2x <= 3y  => 2(2y) <= 3y => 4y <= 3y => y <= 0.
2x >= y   => 2(2y) >= y => 4y >= y => 3y >= 0 => y >= 0.
x = 2y    => (sudah digunakan).
x+y >= 5 => 2y+y >= 5 => 3y >= 5 => y >= 5/3.

Kontradiksi antara y<=0, y>=0, dan y>=5/3.

Dengan asumsi soal ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah mencari nilai minimum pada daerah yang dibatasi oleh garis-garis 2x-3y=0, 2x-y=0, dan x+y=5, maka nilai minimumnya adalah 21.