Tentukan nilai dari lim x -> pi/4 (cos 2x/(sin x-cos

-√2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x}, kita dapat menggunakan substitusi langsung atau aturan L'Hopital jika menghasilkan bentuk tak tentu. Pertama, mari kita substitusikan x = \frac{\pi}{4} ke dalam ekspresi:\n$\cos(2 \times \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$
Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.\nMencari turunan dari pembilang dan penyebut:\n$f(x) = \cos 2x \implies f'(x) = -2 \sin 2x$
$g(x) = \sin x - \cos x \implies g'(x) = \cos x + \sin x$
Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:\n$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-2 \sin 2x}{\cos x + \sin x}$
Substitusikan kembali x = \frac{\pi}{4}:\n$\frac{-2 \sin (2 \times \frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{-2 \sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-2 \times 1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}}$\nUntuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$: $\frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.\nJadi, nilai dari \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} adalah -\sqrt{2}.