Tentukan nilai dari limit berikut limit x -> 0 (cos 4x-1)/x

Nilai limit adalah -4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x -> 0 (cos 4x-1)/x tan2x, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x=0.  Turunan dari pembilang (cos 4x - 1) adalah -4 sin 4x. Turunan dari penyebut (x tan 2x) adalah (1 * tan 2x) + (x * 2 sec^2 2x) = tan 2x + 2x sec^2 2x.  Maka, limitnya menjadi limit x -> 0 (-4 sin 4x) / (tan 2x + 2x sec^2 2x).  Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital lagi. Turunan dari -4 sin 4x adalah -16 cos 4x. Turunan dari tan 2x + 2x sec^2 2x adalah 2 sec^2 2x + (2 sec^2 2x + 2x * 2 sec(2x) * (sec(2x) * tan(2x) * 2)) = 2 sec^2 2x + 2 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x = 4 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x.  Saat x -> 0, -16 cos 0 = -16. Dan 4 sec^2 0 + 0 = 4. Maka, nilai limitnya adalah -16 / 4 = -4.  Cara lain adalah dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit standar.  Kita tahu bahwa limit x->0 (1 - cos ax)/x^2 = a^2/2 dan limit x->0 (tan bx)/bx = 1.  Limit x -> 0 (cos 4x-1)/x tan2x = Limit x -> 0 -(1 - cos 4x) / (x * (sin 2x / cos 2x)) = Limit x -> 0 -(1 - cos 4x) * cos 2x / (x * sin 2x).  = Limit x -> 0 -(1 - cos 4x) / x^2 * (x^2 / (x * sin 2x)) * cos 2x = Limit x -> 0 -(1 - cos 4x) / x^2 * (x / sin 2x) * cos 2x.  = -(4^2/2) * (1/2) * 1 = -8 * (1/2) = -4.