Tentukan nilai dari limit fungsi dibawah ini:lim x -> 0 (1

1/4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit fungsi \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x - \cos x \sin^2 x}{x^4}\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.

Pertama, kita tahu identitas trigonometri dasar: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Dari identitas ini, kita dapat menurunkan \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\).

Substitusikan ini ke dalam pembilang:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - \cos x \sin^2 x}{x^4}\)

Sekarang, kita bisa memfaktorkan \(\sin^2 x\) dari pembilang:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x (1 - \cos x)}{x^4}\)

Kita juga tahu bahwa \(\sin^2 x \approx x^2\) ketika \(x \to 0\), dan \(1 - \cos x \approx \frac{1}{2}x^2\) ketika \(x \to 0\) (menggunakan ekspansi deret Taylor atau rumus setengah sudut \(1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})\) dan \(\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}\)).

Mari kita gunakan pendekatan \(1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})\) dan \(\sin^2 x = (2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}))^2 = 4\sin^2(\frac{x}{2})\cos^2(\frac{x}{2})\).

Substitusikan ini:

\(\lim_{x \to 0} \frac{(2\sin^2(\frac{x}{2})) (1 - \cos x)}{x^4}\)

Kita tahu \(1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{(2\sin^2(\frac{x}{2})) (2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^4}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{4\sin^4(\frac{x}{2})}{x^4}\)

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:

\(4 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^4(\frac{x}{2})}{x^4}\)

Untuk menggunakan limit standar \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\), kita perlu menyesuaikan penyebutnya.

Kita memiliki \(x^4\) di penyebut, dan \((\frac{x}{2})\) di dalam sinus. Jadi, kita perlu \((\frac{x}{2})^4 = \frac{x^4}{16}\) di penyebut.

Kita dapat menulis ulang ekspresi sebagai:

\(4 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^4(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})^4 \times 16}\)

\(4 \times \frac{1}{16} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^4(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})^4}\)

\(\frac{1}{4} \lim_{x \to 0} (\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^4\)

Karena \(x \to 0\), maka \(\frac{x}{2} \to 0\). Menggunakan limit standar \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\), di mana \(y = \frac{x}{2}\):

\(\frac{1}{4} (1)^4\)

\(\frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}\)

Jadi, nilai limitnya adalah \(\frac{1}{4}\).