Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Tentukan nilai dari limit x -> 0 (cos 2x-cos 6x)/(2x tan

Pertanyaan

Tentukan nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 6x}{2x \tan 4x}$

Solusi

Verified

2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 6x}{2x \tan 4x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Langkah 1: Terapkan Aturan L'Hopital. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$: Turunan dari $\cos 2x$ adalah $-2\sin 2x$. Turunan dari $\cos 6x$ adalah $-6\sin 6x$. Turunan dari $2x \tan 4x$ adalah $2\tan 4x + 2x(4\sec^2 4x) = 2\tan 4x + 8x\sec^2 4x$. Sehingga, limitnya menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin 2x - (-6\sin 6x)}{2\tan 4x + 8x\sec^2 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin 2x + 6\sin 6x}{2\tan 4x + 8x\sec^2 4x}$. Langkah 2: Substitusi $x=0$ lagi. Pembilang: $-2\sin(0) + 6\sin(0) = 0 + 0 = 0$. Penyebut: $2\tan(0) + 8(0)\sec^2(0) = 0 + 0 = 0$. Karena masih berbentuk $\frac{0}{0}$, kita terapkan Aturan L'Hopital lagi. Langkah 3: Terapkan Aturan L'Hopital lagi. Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(-2\sin 2x + 6\sin 6x) = -2(2\cos 2x) + 6(6\cos 6x) = -4\cos 2x + 36\cos 6x$. Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(2\tan 4x + 8x\sec^2 4x)$. Turunan dari $2\tan 4x$ adalah $2(4\sec^2 4x) = 8\sec^2 4x$. Turunan dari $8x\sec^2 4x$ menggunakan aturan perkalian: $8\sec^2 4x + 8x(2\sec 4x \cdot \sec 4x \tan 4x \cdot 4) = 8\sec^2 4x + 64x\sec^2 4x \tan 4x$. Jadi, turunan penyebutnya adalah $8\sec^2 4x + 8\sec^2 4x + 64x\sec^2 4x \tan 4x = 16\sec^2 4x + 64x\sec^2 4x \tan 4x$. Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{-4\cos 2x + 36\cos 6x}{16\sec^2 4x + 64x\sec^2 4x \tan 4x}$. Langkah 4: Substitusi $x=0$. Pembilang: $-4\cos(0) + 36\cos(0) = -4(1) + 36(1) = 32$. Penyebut: $16\sec^2(0) + 64(0)\sec^2(0)\tan(0) = 16(1)^2 + 0 = 16$. Hasil limit adalah $\frac{32}{16} = 2$. Metode Alternatif: Menggunakan identitas limit trigonometri $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ dan $\lim_{u \to 0} \frac{1-\cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$. Kita bisa ubah soal menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 6x}{2x \tan 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(4x)\sin(-2x)}{2x \tan 4x}$ Menggunakan identitas $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$. $\frac{-2\sin(4x)\sin(-2x)}{2x \tan 4x} = \frac{-2\sin(4x)(-\sin(2x))}{2x \frac{\sin 4x}{\cos 4x}}$ $= \frac{2\sin(4x)\sin(2x)}{2x \frac{\sin 4x}{\cos 4x}}$ $= \frac{\sin(4x)\sin(2x) \cos 4x}{x \sin 4x}$ $= \frac{\sin(2x) \cos 4x}{x}$ $= \frac{\sin(2x)}{x} \cos 4x$ $= 2 \frac{\sin(2x)}{2x} \cos 4x$ Sekarang ambil limitnya: $\lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin(2x)}{2x} \cos 4x$ $= 2 \cdot 1 \cdot \cos(0)$ $= 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Di Tak Hingga Dan Titik Tertentu

Apakah jawaban ini membantu?