Tentukan nilai lim x->0 (1-cos 6x)/(4x sin 6x) !

Nilai limitnya adalah 3/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 6x}{4x \sin 6x}$, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit trigonometri atau aturan L'Hopital.

**Metode 1: Menggunakan Sifat Limit Trigonometri**
Kita tahu bahwa $\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos y}{y} = 0$ dan $\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$.

Kita bisa manipulasi ekspresi tersebut:

$\frac{1-\cos 6x}{4x \sin 6x} = \frac{1-\cos 6x}{1} \times \frac{1}{4x \sin 6x}$

Untuk menggunakan sifat $\frac{1-\cos y}{y}$, kita perlu $y$ di penyebut. Kalikan dan bagi dengan $6x$ untuk bagian $1-\cos 6x$, dan kalikan serta bagi dengan $6x$ untuk bagian $\sin 6x$:

$\frac{1-\cos 6x}{4x \sin 6x} = \frac{1-\cos 6x}{6x} \times \frac{6x}{\sin 6x} \times \frac{1}{4x} \times 6x$

Ini menjadi rumit karena $6x$ di pembilang dan penyebut saling menghilangkan, tetapi kita perlu penyesuaian yang tepat.

Cara yang lebih baik adalah:

$\frac{1-\cos 6x}{4x \sin 6x} = \frac{1-\cos 6x}{6x} \times \frac{6x}{\sin 6x} \times \frac{6x}{4x \sin 6x}$

Mari kita fokus pada bagian $\frac{1-\cos 6x}{4x \sin 6x}$. Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan $(1+\cos 6x)$:

$\frac{(1-\cos 6x)(1+\cos 6x)}{(4x \sin 6x)(1+\cos 6x)} = \frac{1-\cos^2 6x}{(4x \sin 6x)(1+\cos 6x)} = \frac{\sin^2 6x}{(4x \sin 6x)(1+\cos 6x)}$

$= \frac{\sin 6x}{4x (1+\cos 6x)}$

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan $x$:

$= \frac{\frac{\sin 6x}{x}}{4 (1+\cos 6x)}$

Kita tahu $\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$. Jadi, $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{x} = 6$.

Dan $\lim_{x\to 0} \cos 6x = \cos 0 = 1$.

Maka, limitnya adalah:

$\frac{6}{4 (1+1)} = \frac{6}{4(2)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

**Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital**
Karena substitusi $x=0$ menghasilkan bentuk $\frac{1-\cos 0}{4(0) \sin 0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

Turunan pembilang $(1-\cos 6x)$: $0 - (-\sin 6x) \cdot 6 = 6 \sin 6x$.

Turunan penyebut $(4x \sin 6x)$: Gunakan aturan perkalian $(uv)' = u'v + uv'$.
$u = 4x, u' = 4$
$v = \sin 6x, v' = 6 \cos 6x$
$(4x \sin 6x)' = 4 \sin 6x + 4x (6 \cos 6x) = 4 \sin 6x + 24x \cos 6x$.

Jadi, limitnya menjadi:

$\lim_{x\to 0} \frac{6 \sin 6x}{4 \sin 6x + 24x \cos 6x}$

Jika kita substitusi $x=0$ lagi, kita mendapatkan $\frac{6 \sin 0}{4 \sin 0 + 24(0) \cos 0} = \frac{0}{0}$, jadi kita perlu menerapkan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang $(6 \sin 6x)$: $6 (6 \cos 6x) = 36 \cos 6x$.

Turunan penyebut $(4 \sin 6x + 24x \cos 6x)$: 
Turunan $4 \sin 6x$: $4 (6 \cos 6x) = 24 \cos 6x$.
Turunan $24x \cos 6x$: Gunakan aturan perkalian.
$u = 24x, u' = 24$
$v = \cos 6x, v' = -6 \sin 6x$
$(24x \cos 6x)' = 24 \cos 6x + 24x (-6 \sin 6x) = 24 \cos 6x - 144x \sin 6x$.

Jadi, turunan penyebutnya adalah: $24 \cos 6x + 24 \cos 6x - 144x \sin 6x = 48 \cos 6x - 144x \sin 6x$.

Maka, limitnya menjadi:

$\lim_{x\to 0} \frac{36 \cos 6x}{48 \cos 6x - 144x \sin 6x}$

Sekarang substitusi $x=0$:

$\frac{36 \cos 0}{48 \cos 0 - 144(0) \sin 0} = \frac{36(1)}{48(1) - 0} = \frac{36}{48}$

Sederhanakan $\frac{36}{48}$ dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 12:

$\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.