Tentukan nilai limit berikut ini limit x->0 (sin4x)/(sin3x)

Nilai limitnya adalah 4/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 3x}\), kita dapat menggunakan sifat limit trigonometri yang menyatakan bahwa \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}\) atau \(\lim_{x\to 0} \frac{a \sin x}{bx} = \frac{a}{b}\) dan \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}\).

Dalam kasus ini, kita memiliki \(a=4\) dan \(b=3\) berdasarkan bentuk \(\frac{\sin ax}{\sin bx}\).

Dengan menerapkan sifat tersebut:

\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 3x} = \frac{4}{3}\)

Alternatif lain adalah dengan manipulasi aljabar menggunakan sifat \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\):

\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 3x} = \lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \times \frac{4x}{3x} \times \frac{3x}{\sin 3x} \right)\)

Kita bisa memisahkan limitnya:

\(= \left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \right) \times \left( \lim_{x\to 0} \frac{4x}{3x} \right) \times \left( \lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin 3x} \right)\)

Kita tahu bahwa \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\). Jadi, \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1\).
Kita juga tahu bahwa \(\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\sin ax} = 1\). Jadi, \(\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin 3x} = 1\).
Untuk suku kedua, \(\frac{4x}{3x}\) dapat disederhanakan menjadi \(\frac{4}{3}\) karena x tidak sama dengan 0 saat mendekati 0.

\(= (1) \times (\frac{4}{3}) \times (1)\)

\(= \frac{4}{3}\)

Jadi, nilai limitnya adalah \(\frac{4}{3}\).