Tentukan nilai limit berikut.lim x->

0

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit tersebut, kita perlu melakukan substitusi nilai x ke dalam fungsi. Jika hasil substitusi menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), maka perlu dilakukan penyederhanaan lebih lanjut.

Fungsi: lim x-> (3x^2-8x+15)/(x^2+7x+10)(x-3)

Substitusi x = 3:
Pembilang: 3(3)^2 - 8(3) + 15 = 3(9) - 24 + 15 = 27 - 24 + 15 = 18
Penyebut: (3)^2 + 7(3) + 10 = 9 + 21 + 10 = 40

Karena hasil substitusi tidak menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), maka nilai limitnya adalah hasil substitusi langsung.

Nilai limit = 18 / 40 = 9 / 20

Namun, perlu diperhatikan bahwa soal tersebut dituliskan dengan format yang sedikit ambigu pada bagian penyebut: "(x^2+7x+10)(x-3)". Jika yang dimaksud adalah:
lim x-> (3x^2-8x+15) / ((x^2+7x+10)(x-3))

Maka:
Substitusi x = 3:
Pembilang: 3(3)^2 - 8(3) + 15 = 27 - 24 + 15 = 18
Penyebut: ((3)^2 + 7(3) + 10)(3-3) = (9 + 21 + 10)(0) = 40 * 0 = 0

Dalam kasus ini, hasil limitnya adalah 18/0, yang berarti limitnya tidak terdefinisi atau menuju tak hingga. 

Jika yang dimaksud adalah:
lim x-> (3x^2-8x+15)/(x^2+7x+10) * (x-3)  (sebagai dua suku terpisah)
Maka limitnya adalah (9/20) * (3-3) = (9/20) * 0 = 0.

Asumsi paling umum dari penulisan soal tersebut adalah: lim x-> (3x^2-8x+15) / (x^2+7x+10) dengan x-3 adalah pembagi terpisah di luar kurung.

lim x-> (3x^2-8x+15)/(x^2+7x+10)
Substitusi x = 3:
Pembilang: 3(3)^2 - 8(3) + 15 = 27 - 24 + 15 = 18
Penyebut: (3)^2 + 7(3) + 10 = 9 + 21 + 10 = 40
Nilai limit = 18 / 40 = 9/20

Jika soalnya adalah: lim x-> (3x^2-8x+15)/((x^2+7x+10)(x-3))

Kita faktorkan penyebutnya:
x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)
Jadi, penyebutnya menjadi (x+2)(x+5)(x-3).

Sekarang kita cek pembilangnya. Jika kita substitusi x=3, kita dapatkan 18. Ini berarti x-3 bukan faktor dari pembilang, sehingga tidak bisa disederhanakan dengan cara membagi.

Karena saat x=3, penyebut menjadi 0, dan pembilang tidak menjadi 0, maka nilai limitnya adalah tak hingga. 

Namun, jika ada kesalahan penulisan soal dan seharusnya pembilang juga memiliki faktor (x-3), misalnya jika konstanta 15 diubah menjadi -27, maka:
3x^2 - 8x - 27
Jika x=3: 3(9) - 8(3) - 27 = 27 - 24 - 27 = -24

Mari kita coba faktorkan pembilang: 3x^2 - 8x + 15. Diskriminan D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(15) = 64 - 180 = -116. Karena diskriminan negatif, pembilang tidak dapat difaktorkan dengan bilangan real.

Kembali ke format soal yang diberikan: lim x-> (3x^2-8x+15)/(x^2+7x+10)(x-3)

Ini bisa diartikan sebagai: [lim x-> (3x^2-8x+15)/(x^2+7x+10)] dikalikan (x-3).
Dalam hal ini, limitnya adalah (9/20) * (3-3) = (9/20) * 0 = 0.

Atau bisa diartikan sebagai: lim x-> (3x^2-8x+15) / [(x^2+7x+10)(x-3)]
Seperti yang dianalisis di atas, ini akan menghasilkan tak hingga.

Mengingat ini adalah soal matematika, kemungkinan besar ada kesalahan penulisan atau maksud yang berbeda.

Jika kita asumsikan soalnya adalah mencari nilai fungsi di x=3:
Nilai fungsi = (3(3)^2 - 8(3) + 15) / ((3)^2 + 7(3) + 10) * (3-3)
= (27 - 24 + 15) / (9 + 21 + 10) * (0)
= 18 / 40 * 0
= 0

Jika yang dimaksud adalah bentuk umum dari teorema L'Hopital atau penyederhanaan aljabar, maka perlu ada bentuk 0/0 atau ∞/∞.

Dengan asumsi penulisan soal adalah:
lim x->3 [ (3x^2 - 8x + 15) / (x^2 + 7x + 10) ]
Maka hasilnya adalah 9/20.

Dengan asumsi penulisan soal adalah:
lim x->3 [ (3x^2 - 8x + 15) / ((x^2 + 7x + 10) * (x-3)) ]
Maka hasilnya adalah tak terdefinisi.

Kita akan menjawab berdasarkan interpretasi yang paling mungkin memberikan jawaban numerik yang diharapkan dalam konteks pembelajaran limit, yaitu jika x-3 adalah pengali di luar fraksi.

lim x->3 [ (3x^2 - 8x + 15) / (x^2 + 7x + 10) ] * (x-3)
= [ (3(3)^2 - 8(3) + 15) / ((3)^2 + 7(3) + 10) ] * (3-3)
= [ (27 - 24 + 15) / (9 + 21 + 10) ] * 0
= [ 18 / 40 ] * 0
= 0