Tentukan nilai limit berikut: lim x->0 (1-akar(cos x)/(x^2)

1/4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit lim x->0 (1-akar(cos x))/(x^2), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena saat x=0, bentuknya adalah 0/0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan dari pembilang (1 - akar(cos x)) adalah: d/dx(1 - (cos x)^(1/2)) = 0 - (1/2)(cos x)^(-1/2) * (-sin x) = (sin x) / (2 * akar(cos x))
Turunan dari penyebut (x^2) adalah: d/dx(x^2) = 2x

Jadi, limitnya menjadi: lim x->0 [(sin x) / (2 * akar(cos x))] / (2x) = lim x->0 (sin x) / (4x * akar(cos x))

Langkah 2: Bentuk ini masih 0/0 saat x=0. Terapkan lagi aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang (sin x) adalah: cos x
Turunan dari penyebut (4x * akar(cos x)) adalah: Gunakan aturan perkalian [d/dx(u*v) = u'v + uv'].
Misal u = 4x, v = akar(cos x).
Maka u' = 4, v' = (sin x) / (2 * akar(cos x)).
Jadi, turunan penyebut adalah: 4 * akar(cos x) + 4x * [(sin x) / (2 * akar(cos x))]

Limitnya menjadi: lim x->0 (cos x) / [4 * akar(cos x) + (2x * sin x) / akar(cos x)]

Langkah 3: Substitusikan x=0 ke dalam persamaan.
Pembilang: cos(0) = 1
Penyebut: 4 * akar(cos(0)) + (2*0 * sin(0)) / akar(cos(0)) = 4 * akar(1) + 0 / akar(1) = 4 * 1 + 0 = 4

Maka, nilai limitnya adalah 1/4.