Tentukan nilai limit berikut.lim x -> 2

Limitnya tidak terdefinisi karena penyebutnya bernilai nol.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi $\frac{x^2+4}{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-1}}$ ketika $x$ mendekati 2, kita substitusikan nilai $x=2$ ke dalam fungsi tersebut.

Substitusi $x=2$:
Pembilang: $2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$
Penyebut: $\sqrt{2+1} - \sqrt{2(2)-1} = \sqrt{3} - \sqrt{4-1} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Karena penyebutnya bernilai 0, maka limitnya tidak terdefinisi atau bernilai tak hingga. Namun, untuk memastikan kita perlu mengalikan dengan akar sekawan.

Kalikan dengan akar sekawan dari penyebut:
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2+4}{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-1}} \times \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1}} $$ $$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+4)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1})}{(x+1)-(2x-1)} $$ $$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+4)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1})}{x+1-2x+1} $$ $$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+4)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1})}{-x+2} $$ $$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+4)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1})}{-(x-2)} $$ 

Sekarang substitusi $x=2$ lagi:
Pembilang: $(2^2+4)(\sqrt{2+1}+\sqrt{2(2)-1}) = (4+4)(\sqrt{3}+\sqrt{3}) = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$
Penyebut: $-(2-2) = 0$

Karena penyebutnya masih 0, mari kita periksa kembali soalnya, tampaknya ada kesalahan dalam penyalinan soal atau soalnya memang didesain untuk memiliki limit tak hingga. Jika kita asumsikan ada kesalahan ketik dan penyebutnya seharusnya berbeda, kita bisa melanjutkan analisis.

Namun, berdasarkan soal yang tertulis, ketika $x \to 2$, pembilang mendekati $2^2+4=8$ dan penyebutnya mendekati $\sqrt{2+1} - \sqrt{2(2)-1} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$. Karena penyebut mendekati 0 dari nilai positif saat $x$ mendekati 2 dari sisi kanan dan nilai negatif dari sisi kiri, maka limitnya adalah tak hingga. Khususnya, jika kita melihat bentuk $\frac{8}{0}$, maka limitnya adalah $\infty$ atau $-\infty$ tergantung dari sisi mana $x$ mendekati 2.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan penyebutnya seharusnya bukan 0, maka prosesnya adalah substitusi langsung atau menggunakan kaidah L'Hopital jika bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$.

Dalam kasus ini, karena bentuknya adalah $\frac{8}{0}$, maka nilai limitnya adalah tak terhingga.