Tentukan nilai limit fungsi berikut. limit x->1

Nilai limitnya adalah $\frac{1}{8}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$, kita dapat menggunakan metode substitusi terlebih dahulu. Jika kita substitusikan $x=1$ ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Oleh karena itu, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan akar sekawan.

$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{x+3}}{x^2-1} \times \frac{\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3}} $$

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(2x+2) - (x+3)}{(x^2-1)(\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3})} $$

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x^2-1)(\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3})} $$

Kita tahu bahwa $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Jadi, kita bisa menyederhanakan persamaan menjadi:

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3})} $$

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{2x+2}+\sqrt{x+3})} $$

Sekarang, kita substitusikan $x=1$:

$$ = \frac{1}{(1+1)(\sqrt{2(1)+2}+\sqrt{1+3})} $$

$$ = \frac{1}{2(\sqrt{4}+\sqrt{4})} $$

$$ = \frac{1}{2(2+2)} $$

$$ = \frac{1}{2(4)} $$

$$ = \frac{1}{8} $$

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah $\frac{1}{8}$.