Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi tujuan

Nilai minimum adalah $270/7$, nilai maksimum tidak ada.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi tujuan $f(x, y) = 2x + 3y$ dengan kendala yang diberikan, kita perlu menggunakan metode program linear, yaitu metode titik pojok.

Kendala yang diberikan adalah:
1. $5x + 3y \geq 30$
2. $5x + y \geq 50$
3. $x + 3y \geq 30$
4. $x \geq 0$
5. $y \geq 0$

Langkah-langkahnya adalah:

1.  **Gambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear.**
    Kita perlu mencari titik-titik potong dari garis-garis pembatas:

    *   Garis 1: $5x + 3y = 30$
        Jika $x=0$, $3y=30 \implies y=10$. Titik (0, 10).
        Jika $y=0$, $5x=30 \implies x=6$. Titik (6, 0).

    *   Garis 2: $5x + y = 50$
        Jika $x=0$, $y=50$. Titik (0, 50).
        Jika $y=0$, $5x=50 \implies x=10$. Titik (10, 0).

    *   Garis 3: $x + 3y = 30$
        Jika $x=0$, $3y=30 \implies y=10$. Titik (0, 10).
        Jika $y=0$, $x=30$. Titik (30, 0).

    Kendala $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ menunjukkan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran I.
    Karena semua pertidaksamaan adalah $\geq$, daerah penyelesaian berada di atas atau di kanan garis-garis tersebut.

2.  **Cari titik-titik pojok (vertex) dari daerah penyelesaian.**
    Titik pojok adalah perpotongan antara garis-garis pembatas.

    *   Perpotongan Garis 1 ($5x + 3y = 30$) dan Garis 2 ($5x + y = 50$).
        Kurangkan persamaan (2) dari (1):
        $(5x + 3y) - (5x + y) = 30 - 50$
        $2y = -20$
        $y = -10$. (Ini tidak mungkin karena kendala $y \geq 0$).
        Ini menunjukkan bahwa ada kesalahan dalam asumsi atau daerah penyelesaian tidak terbentuk seperti yang diharapkan, atau titik potongnya di luar kuadran I.

    Mari kita periksa kembali interpretasi kendala. Kendala $5x+y 
less 50$ dan $x+3y 
less 30$ jika $x,y$ besar. Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi SEMUA pertidaksamaan.

    Mari kita cari titik potong yang relevan:
    *   Titik potong Garis 1 ($5x + 3y = 30$) dan Garis 3 ($x + 3y = 30$).
        Kurangkan persamaan (3) dari (1):
        $(5x + 3y) - (x + 3y) = 30 - 30$
        $4x = 0 
        x = 0$.
        Substitusikan $x=0$ ke Garis 3: $0 + 3y = 30 \implies y = 10$. Titik (0, 10).

    *   Titik potong Garis 2 ($5x + y = 50$) dan sumbu-y ($x=0$).
        $5(0) + y = 50 
        y = 50$. Titik (0, 50).
        Periksa apakah (0,50) memenuhi kendala lain:
        $5(0) + 3(50) = 150 \geq 30$ (Benar)
        $0 + 3(50) = 150 \geq 30$ (Benar)
        Jadi, (0, 50) adalah salah satu titik pojok.

    *   Titik potong Garis 1 ($5x + 3y = 30$) dan sumbu-x ($y=0$).
        $5x + 3(0) = 30 
        5x = 30 
        x = 6$. Titik (6, 0).
        Periksa apakah (6,0) memenuhi kendala lain:
        $5(6) + 0 = 30 \geq 50$ (Salah).
        Jadi, (6, 0) bukan titik pojok yang valid untuk daerah yang memenuhi SEMUA kendala.

    *   Titik potong Garis 2 ($5x + y = 50$) dan sumbu-x ($y=0$).
        $5x + 0 = 50 
        5x = 50 
        x = 10$. Titik (10, 0).
        Periksa apakah (10,0) memenuhi kendala lain:
        $5(10) + 3(0) = 50 \geq 30$ (Benar)
        $10 + 3(0) = 30 \geq 30$ (Benar)
        Jadi, (10, 0) adalah salah satu titik pojok.

    *   Perpotongan Garis 2 ($5x + y = 50$) dan Garis 3 ($x + 3y = 30$).
        Dari Garis 2, $y = 50 - 5x$.
        Substitusikan ke Garis 3:
        $x + 3(50 - 5x) = 30$
        $x + 150 - 15x = 30$
        $-14x = 30 - 150$
        $-14x = -120$
        $x = 120/14 = 60/7$.
        Sekarang cari $y$:
        $y = 50 - 5(60/7) = 50 - 300/7 = (350 - 300)/7 = 50/7$.
        Titik (60/7, 50/7).
        Periksa apakah titik ini memenuhi kendala 1:
        $5(60/7) + 3(50/7) = 300/7 + 150/7 = 450/7 
        $450/7 \\approx 64.28$. $64.28 \geq 30$ (Benar).
        Jadi, (60/7, 50/7) adalah salah satu titik pojok.

    Titik pojok yang valid adalah: (0, 50), (10, 0), dan (60/7, 50/7).

    *   Perlu diperhatikan bahwa daerah penyelesaiannya adalah daerah yang berada DI ATAS ketiga garis $5x+3y=30$, $5x+y=50$, dan $x+3y=30$ di kuadran I. Kita perlu memastikan titik mana yang membentuk batas terluar.
    *   Garis $5x+y=50$ memotong sumbu x di (10,0) dan sumbu y di (0,50).
    *   Garis $x+3y=30$ memotong sumbu x di (30,0) dan sumbu y di (0,10).
    *   Garis $5x+3y=30$ memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,10).

    Karena $x 
less 0$ dan $y 
less 0$, kita berurusan dengan kuadran pertama. 
    Ambil titik uji (20,20).
    $5(20)+3(20) = 100+60 = 160 \geq 30$ (Benar)
    $5(20)+20 = 100+20 = 120 \geq 50$ (Benar)
    $20+3(20) = 20+60 = 80 \geq 30$ (Benar).
    Jadi, daerah penyelesaian ada di 'luar' dari ketiga garis tersebut di kuadran I.

    Titik pojok yang relevan adalah:
    a. Perpotongan $5x+y=50$ dan $x=0$ --> (0, 50).
    b. Perpotongan $5x+y=50$ dan $x+3y=30$ --> (60/7, 50/7).
    c. Perpotongan $x+3y=30$ dan $y=0$ --> (30, 0).
    d. Perpotongan $5x+3y=30$ dan $y=0$ --> (6, 0).

    Sekarang kita harus menentukan batas daerah yang memenuhi KETIGA pertidaksamaan. Kita perlu memeriksa kembali titik potongnya.

    Titik A: Perpotongan $5x+y=50$ dan $x+3y=30$. Ditemukan (60/7, 50/7).
    Titik B: Perpotongan $x+3y=30$ dan sumbu x ($y=0$). Ditemukan (30, 0).
    Titik C: Perpotongan $5x+y=50$ dan sumbu y ($x=0$). Ditemukan (0, 50).

    Mari kita periksa apakah (30,0) memenuhi $5x+y 
less 50$ dan $5x+3y 
less 30$.
    $5(30)+0 = 150 
less 50$ (Salah).
    Jadi, (30,0) bukan titik pojok yang relevan.

    Mari kita periksa apakah (0,50) memenuhi $5x+3y 
less 30$ dan $x+3y 
less 30$.
    $5(0)+3(50) = 150 
less 30$ (Salah).
    Jadi, (0,50) bukan titik pojok yang relevan.

    Ada kekeliruan dalam mengidentifikasi daerah penyelesaian atau titik pojok.

    Mari kita visualisasikan:
    Garis 1: $5x + 3y = 30$ (memotong sumbu x di 6, sumbu y di 10)
    Garis 2: $5x + y = 50$ (memotong sumbu x di 10, sumbu y di 50)
    Garis 3: $x + 3y = 30$ (memotong sumbu x di 30, sumbu y di 10)

    Karena semua pertidaksamaan adalah $\geq$, daerah penyelesaian berada di atas/kanan dari ketiga garis tersebut.

    Titik potong yang membentuk batas daerah adalah:
    1. Perpotongan $5x+y=50$ dan $x+3y=30$. Titik A = (60/7, 50/7).
    2. Perpotongan $x+3y=30$ dan sumbu x ($y=0$). Titik B = (30, 0).
    3. Perpotongan $5x+y=50$ dan sumbu y ($x=0$). Titik C = (0, 50).

    Kita harus memilih titik pojok yang terletak pada batas daerah penyelesaian yang memenuhi semua kendala.
    Kita perlu melihat mana dari ketiga garis ini yang membatasi daerah paling 'luar' terhadap titik asal.

    Perhatikan titik (10,0). Memenuhi $5x+y=50$, $5x+3y=50\ge 30$, $x+3y=30\ge 30$. Titik (10,0) adalah titik pojok.
    Perhatikan titik (0,50). Memenuhi $5x+y=50$, $5x+3y=150\ge 30$, $x+3y=150\ge 30$. Titik (0,50) adalah titik pojok.
    Perhatikan titik (30,0). Memenuhi $x+3y=30$, $5x+3y=150\ge 30$, $5x+y=150\ge 50$. Titik (30,0) adalah titik pojok.
    Perhatikan titik (0,10). Memenuhi $5x+3y=30$ dan $x+3y=30$. Tetapi $5x+y = 50\ge 50$. Titik (0,10) memenuhi dua kendala tetapi tidak memenuhi $5x+y 
less 50$. Jadi (0,10) bukan titik pojok yang valid.
    Perhatikan titik (6,0). Memenuhi $5x+3y=30$. Tetapi $5x+y = 30 \not\ge 50$. Jadi (6,0) bukan titik pojok yang valid.

    Titik pojok yang benar adalah perpotongan dari batas-batas yang membentuk daerah yang tidak terbatas.
    Karena semua kendala adalah $\geq$, daerah penyelesaian membentang tak terbatas ke arah positif x dan y.
    Ini berarti nilai maksimum fungsi tujuan mungkin tidak ada.

    Mari kita periksa kembali titik-titik potong:
    *   $5x+y=50$ dan $x+3y=30 
ightarrow (60/7, 50/7) 
    *   $5x+3y=30$ dan $x+3y=30 
ightarrow (0, 10)$ (tidak memenuhi $5x+y 
less 50$)
    *   $5x+y=50$ dan sumbu y ($x=0$) $
ightarrow (0, 50)$
    *   $5x+3y=30$ dan sumbu x ($y=0$) $
ightarrow (6, 0)$ (tidak memenuhi $5x+y 
less 50$)
    *   $x+3y=30$ dan sumbu x ($y=0$) $
ightarrow (30, 0)$

    Titik pojok yang relevan adalah titik-titik yang membentuk batas daerah yang memenuhi SEMUA pertidaksamaan.
    Titik pojok harus memenuhi batas-batas yang aktif.

    Titik pojok yang perlu diuji adalah:
    1.  Perpotongan $5x + y = 50$ dan $x + 3y = 30$. Yaitu $(60/7, 50/7)$.
    2.  Perpotongan $5x + y = 50$ dan $x = 0$. Yaitu $(0, 50)$.
    3.  Perpotongan $x + 3y = 30$ dan $y = 0$. Yaitu $(30, 0)$.

    Kita perlu memastikan bahwa titik-titik ini memenuhi semua kendala.
    *   Titik $(60/7, 50/7) 
    *   $5(60/7) + 3(50/7) = 300/7 + 150/7 = 450/7 
    $450/7 \approx 64.28 \geq 30$ (Memenuhi).
    *   Titik $(0, 50)$.
    *   $5(0) + 3(50) = 150 \geq 30$ (Memenuhi).
    *   $5(0) + 50 = 50 \geq 50$ (Memenuhi).
    *   $0 + 3(50) = 150 \geq 30$ (Memenuhi).
    *   Titik $(30, 0)$.
    *   $5(30) + 3(0) = 150 \geq 30$ (Memenuhi).
    *   $5(30) + 0 = 150 \geq 50$ (Memenuhi).
    *   $30 + 3(0) = 30 \geq 30$ (Memenuhi).

    Jadi, titik-titik pojok yang valid adalah (60/7, 50/7), (0, 50), dan (30, 0).

3.  **Hitung nilai fungsi tujuan di setiap titik pojok.**
    *   Di $(60/7, 50/7)$: $f(x,y) = 2(60/7) + 3(50/7) = 120/7 + 150/7 = 270/7 \approx 38.57$.
    *   Di $(0, 50)$: $f(x,y) = 2(0) + 3(50) = 0 + 150 = 150$.
    *   Di $(30, 0)$: $f(x,y) = 2(30) + 3(0) = 60 + 0 = 60$.

4.  **Tentukan nilai maksimum dan minimum.**
    Karena daerah penyelesaian membentang tak terbatas ke arah positif, nilai maksimum tidak ada (menuju tak hingga).
    Nilai minimum adalah nilai terkecil dari hasil perhitungan di titik pojok.

    Nilai minimum = $270/7$ (pada titik (60/7, 50/7)).
    Nilai maksimum tidak ada.

    **Catatan:** Jika soal mengharapkan nilai maksimum dan minimum yang terdefinisi, mungkin ada kekeliruan dalam penulisan soal atau ada kendala tambahan yang terlewat.
    Namun, berdasarkan kendala yang diberikan ($5x+3y 
less 30$, $5x+y 
less 50$, $x+3y 
less 30$, $x 
less 0$, $y 
less 0$), daerah penyelesaiannya adalah daerah yang dibatasi oleh titik-titik potong yang telah diidentifikasi dan meluas ke tak hingga.

    Jika yang dimaksud adalah mencari nilai minimum dan maksimum pada daerah tertutup, maka soal ini tidak dapat diselesaikan untuk nilai maksimum.

    Mari kita cek apakah ada titik potong antara $5x+3y=30$ dan $5x+y=50$.
    $2y = -20 
    $y = -10$. Titik potong di luar kuadran 1.

    Daerah penyelesaian adalah daerah yang diarsir DI LUAR ketiga garis tersebut, dimulai dari titik pojok.
    Titik pojok (60/7, 50/7) adalah titik terendah dari daerah tak terbatas.
    Titik pojok (0, 50) adalah titik di sumbu y.
    Titik pojok (30, 0) adalah titik di sumbu x.

    Nilai fungsi tujuan $f(x,y)=2x+3y$:
    *   $f(60/7, 50/7) = 270/7 
    *   $f(0, 50) = 150$
    *   $f(30, 0) = 60$

    Karena daerahnya tak terbatas, kita perlu memastikan arah gradien dari fungsi tujuan.
    Gradien $f(x,y)=2x+3y$ adalah vektor $(2,3)$.
    Jika kita bergerak ke arah $(2,3)$ dari titik pojok, nilai fungsi akan meningkat.
    Titik (0,50) memiliki nilai 150.
    Titik (30,0) memiliki nilai 60.
    Titik (60/7, 50/7) memiliki nilai 270/7.

    Nilai minimum diperoleh pada titik (60/7, 50/7), yaitu 270/7.
    Karena daerah penyelesaian membentang ke tak hingga, nilai maksimum tidak ada.

    Jika ada kekeliruan dalam soal dan daerah penyelesaiannya tertutup, maka titik pojoknya akan berbeda.
    Namun, berdasarkan kendala yang ada, daerahnya terbuka.

    Jadi, nilai minimum adalah $270/7$ dan nilai maksimum tidak ada.

    Jika pertanyaan mengimplikasikan bahwa harus ada nilai maksimum dan minimum, mungkin ada kesalahan interpretasi atau soal.
    Namun, jika kita diminta untuk menemukan nilai minimum dan maksimum SEJIKA ADA, maka:
    Nilai minimum = $270/7$
    Nilai maksimum = Tidak ada

    Jika soal meminta nilai maksimum dan minimum SEBAGAI SUATU NILAI TERDEFINISI, maka tidak ada nilai maksimum.

    Jawaban: Nilai minimum fungsi tujuan adalah $270/7$ (tercapai di titik $(60/7, 50/7)$). Nilai maksimum tidak ada karena daerah penyelesaian tidak terbatas.