Tentukan nilai maksimum dan minimum yang dinyatakan oleh

Nilai maksimum = 11, Nilai minimum = 10.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi z = 3x + 4y dengan syarat:
2x + y >= 4
x + y >= 3
x >= 1
y >= 1

Kita perlu menggunakan metode program linear:

Langkah 1: Gambar daerah yang memenuhi syarat (daerah feasibel).
   - Garis 1: 2x + y = 4. Titik potong sumbu x (y=0) -> 2x=4 -> x=2 (titik (2,0)). Titik potong sumbu y (x=0) -> y=4 (titik (0,4)).
   - Garis 2: x + y = 3. Titik potong sumbu x (y=0) -> x=3 (titik (3,0)). Titik potong sumbu y (x=0) -> y=3 (titik (0,3)).
   - Garis 3: x = 1 (garis vertikal).
   - Garis 4: y = 1 (garis horizontal).

   Daerah yang diarsir adalah daerah di atas atau pada garis-garis tersebut, dan berada di kuadran pertama.

Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut (titik ekstrem) dari daerah feasibel.
   - Titik A: Perpotongan x=1 dan y=1. A = (1,1).
   - Titik B: Perpotongan x=1 dan x+y=3. Substitusi x=1 ke x+y=3 -> 1+y=3 -> y=2. B = (1,2).
   - Titik C: Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3. Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (2x+y)-(x+y) = 4-3 -> x=1. Substitusi x=1 ke x+y=3 -> 1+y=3 -> y=2. (Perhatikan bahwa titik ini sama dengan B, yang menunjukkan bahwa ada kesalahan dalam asumsi awal atau perlu pengecekan ulang gambar. Mari kita cek perpotongan lainnya).
   - Titik D: Perpotongan 2x+y=4 dengan sumbu x (y=0) adalah (2,0). Namun, syarat y>=1 tidak terpenuhi.
   - Titik E: Perpotongan 2x+y=4 dengan y=1. Substitusi y=1 ke 2x+y=4 -> 2x+1=4 -> 2x=3 -> x=3/2. E = (3/2, 1).
   - Titik F: Perpotongan x+y=3 dengan y=1. Substitusi y=1 ke x+y=3 -> x+1=3 -> x=2. F = (2,1).

   Mari kita periksa kembali titik-titik sudut yang valid:
   1. Perpotongan x=1 dan y=1 --> (1,1). Cek syarat: 2(1)+1=3>=4 (salah). Jadi (1,1) bukan titik sudut daerah feasibel.
   2. Perpotongan x=1 dan 2x+y=4 --> 2(1)+y=4 --> y=2. Titik (1,2). Cek syarat: 1+2=3>=3 (benar), 1>=1 (benar), 2>=1 (benar). Jadi P1=(1,2) adalah titik sudut.
   3. Perpotongan x=1 dan x+y=3 --> 1+y=3 --> y=2. Titik (1,2). (Sama dengan P1)
   4. Perpotongan 2x+y=4 dan y=1 --> 2x+1=4 --> 2x=3 --> x=3/2. Titik (3/2, 1). Cek syarat: 3/2+1=5/2>=3 (salah). Jadi (3/2, 1) bukan titik sudut daerah feasibel.
   5. Perpotongan x+y=3 dan y=1 --> x+1=3 --> x=2. Titik (2,1). Cek syarat: 2(2)+1=5>=4 (benar), 2>=1 (benar), 1>=1 (benar). Jadi P2=(2,1) adalah titik sudut.
   6. Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3. Kurangkan: x=1. Substitusi x=1 ke x+y=3 -> 1+y=3 -> y=2. Titik (1,2). (Sama dengan P1).

   Sepertinya ada kesalahan dalam mengidentifikasi titik-titik sudut atau daerahnya. Mari kita visualisasikan:
   Garis 2x+y=4 melewati (2,0) dan (0,4).
   Garis x+y=3 melewati (3,0) dan (0,3).
   Garis x=1 adalah vertikal.
   Garis y=1 adalah horizontal.

   Daerah yang memenuhi semua syarat adalah daerah di atas ketiga garis tersebut:
   - Titik potong x=1 dengan x+y=3 adalah (1,2). Ini adalah titik sudut.
   - Titik potong x+y=3 dengan y=1 adalah (2,1). Ini adalah titik sudut.
   - Titik potong 2x+y=4 dengan y=1 adalah (3/2, 1). Namun, 3/2+1 = 2.5 < 3, jadi ini di luar daerah x+y>=3.
   - Titik potong 2x+y=4 dengan x=1 adalah (1,2). (Sudah ditemukan).
   - Titik potong 2x+y=4 dengan x+y=3 adalah (1,2). (Sudah ditemukan).

   Titik-titik sudut yang benar adalah:
   P1: Perpotongan x=1 dan x+y=3 --> (1,2).
   P2: Perpotongan x+y=3 dan y=1 --> (2,1).
   P3: Perpotongan 2x+y=4 dan y=1 --> (3/2, 1). Tapi syarat x+y>=3 tidak terpenuhi.
   P4: Perpotongan 2x+y=4 dan x=1 --> (1,2). (Sama dengan P1).

   Sepertinya ada kesalahan dalam memahami soal atau ada ketidaksesuaian dalam syarat. Namun, jika kita asumsikan titik-titik sudut yang valid yang memenuhi SEMUA syarat adalah titik-titik di mana garis batas berpotongan dan berada dalam daerah yang valid.

   Mari kita uji titik-titik yang memenuhi x>=1 dan y>=1 dan juga dua pertidaksamaan lainnya:
   - Titik (1,2): 2(1)+2=4>=4 (benar), 1+2=3>=3 (benar). --> Titik Sudut 1.
   - Titik (2,1): 2(2)+1=5>=4 (benar), 2+1=3>=3 (benar). --> Titik Sudut 2.
   - Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1,2). Ini sudah tercakup.
   - Perpotongan 2x+y=4 dan x=1 adalah (1,2). Ini sudah tercakup.
   - Perpotongan x+y=3 dan y=1 adalah (2,1). Ini sudah tercakup.
   - Ada lagi perpotongan antara 2x+y=4 dan x=1 yang menghasilkan (1,2).
   - Perpotongan antara 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1,2).
   - Titik harus memenuhi semua syarat.

   Mari kita coba titik potong antara 2x+y=4 dan x+y=3 yang menghasilkan (1,2). 
   Perpotongan antara x+y=3 dan y=1 menghasilkan (2,1). 
   Perpotongan antara 2x+y=4 dan y=1 menghasilkan (3/2,1). Namun, 3/2+1=2.5 < 3, sehingga tidak memenuhi syarat x+y>=3. 
   Perpotongan antara 2x+y=4 dan x=1 menghasilkan (1,2).

   Titik-titik sudut yang memenuhi semua syarat:
   1. (1,2) [Perpotongan x=1 dan x+y=3, juga memenuhi 2x+y>=4]
   2. (2,1) [Perpotongan y=1 dan x+y=3, juga memenuhi 2x+y>=4]
   3. Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1,2), yang sudah diidentifikasi.
   4. Perpotongan 2x+y=4 dan x=1 adalah (1,2).
   5. Perpotongan x+y=3 dan x=1 adalah (1,2).
   6. Perpotongan 2x+y=4 dan y=1 adalah (3/2,1). Ini memenuhi x>=1, y>=1, 2x+y>=4 tapi tidak x+y>=3.
   7. Perpotongan x+y=3 dan x=1 adalah (1,2). Ini memenuhi x>=1, y>=1, 2x+y>=4.
   8. Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1,2).

   Sepertinya ada satu titik sudut lagi yang perlu diidentifikasi.
   Titik potong garis 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1,2).
   Titik potong garis x+y=3 dan y=1 adalah (2,1).
   Kita perlu titik potong antara 2x+y=4 dan garis lain yang membentuk daerah.
   Titik potong 2x+y=4 dan x=1 adalah (1,2).
   Titik potong 2x+y=4 dan y=1 adalah (3/2,1).
   Titik potong x+y=3 dan x=1 adalah (1,2).
   Titik potong x+y=3 dan y=1 adalah (2,1).

   Titik-titik sudut yang valid adalah:
   P1: (1,2) (perpotongan x=1 dan x+y=3)
   P2: (2,1) (perpotongan y=1 dan x+y=3)
   P3: Perpotongan 2x+y=4 dengan x=1 adalah (1,2). 
   P4: Perpotongan 2x+y=4 dengan y=1 adalah (3/2,1). Tapi ini tidak memenuhi x+y>=3.

   Mari kita periksa ulang daerahnya. Daerahnya adalah di atas atau pada garis 2x+y=4, di atas atau pada garis x+y=3, di kanan atau pada x=1, dan di atas atau pada y=1.

   Titik-titik sudut yang mungkin adalah:
   - Irisan x=1 dan x+y=3 => (1,2). Cek 2x+y>=4: 2(1)+2=4>=4 (Ok). Cek y>=1: 2>=1 (Ok). Maka (1,2) adalah titik sudut.
   - Irisan x+y=3 dan y=1 => (2,1). Cek 2x+y>=4: 2(2)+1=5>=4 (Ok). Cek x>=1: 2>=1 (Ok). Maka (2,1) adalah titik sudut.
   - Irisan 2x+y=4 dan x=1 => (1,2). Sudah ada.
   - Irisan 2x+y=4 dan y=1 => (3/2, 1). Cek x+y>=3: 3/2+1 = 2.5 < 3 (Tidak Ok).
   - Irisan 2x+y=4 dan x+y=3 => (1,2). Sudah ada.

   Jadi, titik-titik sudut yang memenuhi semua syarat adalah (1,2) dan (2,1).

Langkah 3: Substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi z = 3x + 4y.
   - Untuk titik (1,2):
     z = 3(1) + 4(2) = 3 + 8 = 11.
   - Untuk titik (2,1):
     z = 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10.

Langkah 4: Tentukan nilai maksimum dan minimum.
   Nilai minimum dari fungsi z adalah 10, yang terjadi pada titik (2,1).
   Nilai maksimum dari fungsi z adalah 11, yang terjadi pada titik (1,2).

Jadi, nilai maksimumnya adalah 11 dan nilai minimumnya adalah 10.