Tentukan nilai-nilai x dari persamaan berikut ini. |x-1 x

Persamaan determinan menghasilkan persamaan kubik 2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0 yang tidak memiliki solusi rasional sederhana.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x dari persamaan determinan:
|x-1 x x+1|
|  4  -x  3 |
| 2x+1 0  1 |
=55

Kita akan menggunakan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor.

Menggunakan metode Sarrus:
(x-1)(-x)(1) + (x)(3)(2x+1) + (x+1)(4)(0) - [(x+1)(-x)(2x+1) + (x-1)(3)(0) + (x)(4)(1)] = 55

-x^2 + x + 6x^2 + 3x + 0 - [-2x^3 - x^2 + 2x^2 + x + 0 + 4x] = 55

5x^2 + 3x - [-2x^3 + x^2 + 5x] = 55

5x^2 + 3x + 2x^3 - x^2 - 5x = 55

2x^3 + 4x^2 - 2x = 55

2x^3 + 4x^2 - 2x - 55 = 0

Menemukan akar dari persamaan kubik ini secara analitik bisa rumit. Namun, jika kita mencoba nilai-nilai bulat, kita bisa menemukan salah satunya adalah x = 2.5.
Mari kita substitusikan x = 2.5:
2(2.5)^3 + 4(2.5)^2 - 2(2.5) - 55
= 2(15.625) + 4(6.25) - 5 - 55
= 31.25 + 25 - 5 - 55
= 56.25 - 60
= -3.75

Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan awal atau soal ini dirancang untuk memiliki solusi non-bulat atau kompleks. Jika kita kembali ke langkah ekspansi:
(x-1)(-x)(1) + x(3)(2x+1) + (x+1)(4)(0) - ( (x+1)(-x)(2x+1) + (x-1)(3)(0) + x(4)(1) )

-x(x-1) + 3x(2x+1) + 0 - [ -(x+1)x(2x+1) + 0 + 4x ] = 55

-x^2+x + 6x^2+3x - [ -(x^2+x)(2x+1) + 4x ] = 55

5x^2+4x - [ -(2x^3+x^2+2x^2+x) + 4x ] = 55

5x^2+4x - [ -(2x^3+3x^2+x) + 4x ] = 55

5x^2+4x - [ -2x^3-3x^2-x + 4x ] = 55

5x^2+4x - [ -2x^3-3x^2+3x ] = 55

5x^2+4x + 2x^3+3x^2-3x = 55

2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0

Mencoba x = 2.5:
2(2.5)^3 + 8(2.5)^2 + 2.5 - 55
= 2(15.625) + 8(6.25) + 2.5 - 55
= 31.25 + 50 + 2.5 - 55
= 83.75 - 55
= 28.75

Mari kita coba metode ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
(2x+1) * det([[x, x+1], [-x, 3]]) - 0 * det(...) + 1 * det([[x-1, x], [4, -x]]) = 55

(2x+1) * (x*3 - (x+1)(-x)) + (x-1)(-x) - (x)(4) = 55

(2x+1) * (3x - (-x^2-x)) + (-x^2+x) - 4x = 55

(2x+1) * (3x + x^2 + x) - x^2 - 3x = 55

(2x+1) * (x^2 + 4x) - x^2 - 3x = 55

2x^3 + 8x^2 + x^2 + 4x - x^2 - 3x = 55

2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0

Jika x = 2.5 adalah solusi, mari kita cek kembali perhitungannya.
Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dalam soal dan hasilnya seharusnya lebih mudah.
Namun, berdasarkan persamaan yang diberikan, kita mencari akar dari 2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0. Salah satu akar rasional yang mungkin adalah ±p/q, dimana p membagi 55 (1, 5, 11, 55) dan q membagi 2 (1, 2).
Kemungkinan akar: ±1, ±5, ±11, ±55, ±1/2, ±5/2, ±11/2, ±55/2.
Mari coba x = 5/2 = 2.5:
2(5/2)^3 + 8(5/2)^2 + 5/2 - 55
= 2(125/8) + 8(25/4) + 5/2 - 55
= 125/4 + 50 + 5/2 - 55
= 31.25 + 50 + 2.5 - 55
= 83.75 - 55 = 28.75. Ini bukan 0.

Mari coba x = -5/2 = -2.5:
2(-5/2)^3 + 8(-5/2)^2 + (-5/2) - 55
= 2(-125/8) + 8(25/4) - 5/2 - 55
= -125/4 + 50 - 5/2 - 55
= -31.25 + 50 - 2.5 - 55
= 18.75 - 57.5 = -38.75. Ini bukan 0.

Mari coba x = 1:
2(1)^3 + 8(1)^2 + 1 - 55 = 2 + 8 + 1 - 55 = 11 - 55 = -44.

Mari coba x = -1:
2(-1)^3 + 8(-1)^2 + (-1) - 55 = -2 + 8 - 1 - 55 = 5 - 55 = -50.

Mari coba x = 5:
2(5)^3 + 8(5)^2 + 5 - 55 = 2(125) + 8(25) + 5 - 55 = 250 + 200 + 5 - 55 = 455 - 55 = 400.

Mari coba x = -5:
2(-5)^3 + 8(-5)^2 + (-5) - 55 = 2(-125) + 8(25) - 5 - 55 = -250 + 200 - 5 - 55 = -50 - 60 = -110.

Persamaan 2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0 tidak memiliki solusi bilangan bulat atau rasional sederhana yang mudah ditemukan.
Kemungkinan ada kesalahan ketik dalam soal asli atau diperlukan metode numerik untuk menemukan akarnya.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan mencoba mencari nilai x yang membuat ekspresi menjadi 55.
Jawaban: Nilai x tidak dapat ditentukan dengan mudah dari persamaan yang diberikan karena menghasilkan persamaan kubik yang kompleks (2x^3 + 8x^2 + x - 55 = 0) yang tidak memiliki solusi rasional sederhana.