Tentukan nilai x dan tuliskan himpunan penyelesaian dari

Himpunan penyelesaiannya adalah $[1, \infty)$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x dan himpunan penyelesaian dari persamaan linear $|x+1|-|1-x|=2$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan definisi nilai mutlak.

Definisi nilai mutlak: $|a| = a$ jika $a \ge 0$, dan $|a| = -a$ jika $a < 0$.

Kita perlu mengidentifikasi titik-titik kritis di mana ekspresi di dalam nilai mutlak berubah tanda:
1. $x+1 = 0 \implies x = -1$
2. $1-x = 0 \implies x = 1$

Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:
Kasus 1: $x < -1$
Dalam interval ini, $x+1 < 0$ dan $1-x > 0$. Maka $|x+1| = -(x+1)$ dan $|1-x| = 1-x$.
Persamaan menjadi: $-(x+1) - (1-x) = 2$
$-x - 1 - 1 + x = 2$
$-2 = 2$ (Pernyataan ini salah, jadi tidak ada solusi di interval ini).

Kasus 2: $-1 \le x < 1$
Dalam interval ini, $x+1 \ge 0$ dan $1-x > 0$. Maka $|x+1| = x+1$ dan $|1-x| = 1-x$.
Persamaan menjadi: $(x+1) - (1-x) = 2$
$x + 1 - 1 + x = 2$
$2x = 2$
$x = 1$
Namun, intervalnya adalah $-1 \le x < 1$. Jadi, $x=1$ tidak termasuk dalam solusi di kasus ini.

Kasus 3: $x \ge 1$
Dalam interval ini, $x+1 > 0$ dan $1-x \le 0$. Maka $|x+1| = x+1$ dan $|1-x| = -(1-x) = x-1$.
Persamaan menjadi: $(x+1) - (x-1) = 2$
$x + 1 - x + 1 = 2$
$2 = 2$ (Pernyataan ini benar, jadi semua nilai $x$ dalam interval ini adalah solusi).

Karena Kasus 3 menghasilkan $2=2$, maka semua nilai $x$ yang memenuhi $x \ge 1$ adalah solusi.

Himpunan penyelesaiannya adalah $[1, \infty)$.