Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut untuk

Nilai x yang memenuhi adalah 75, 125, dan 175 derajat (dengan asumsi 30 adalah derajat dan pi adalah 180 derajat).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 2 cos^2(6/5x+30) + 3 cos(6/5x+30) + 1 = 0 dengan batasan 0 <= x <= pi, kita dapat melakukan substitusi untuk menyederhanakan persamaan tersebut. Misalkan y = cos(6/5x+30).

Maka persamaan menjadi:
2y^2 + 3y + 1 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(y + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y:
2y + 1 = 0  => y = -1/2
y + 1 = 0   => y = -1

Sekarang, kita kembalikan substitusi y = cos(6/5x+30):

Kasus 1: cos(6/5x+30) = -1/2
Nilai kosinus -1/2 terjadi pada sudut 120 derajat (2pi/3 radian) dan 240 derajat (4pi/3 radian) dalam interval 0 hingga 360 derajat (0 hingga 2pi radian).

Kita perlu mempertimbangkan bahwa argumen fungsi kosinus adalah (6/5x+30). Asumsikan satuan sudut adalah derajat untuk memudahkan perhitungan awal, namun harus dikonversi ke radian jika diperlukan oleh konteks soal atau jika ada instruksi lebih lanjut. Untuk kesederhanaan, kita akan bekerja dalam derajat terlebih dahulu dan mengkonversi batasan x ke derajat jika perlu.

Jika 6/5x + 30 = 120 + 360k (di mana k adalah bilangan bulat):
6/5x = 90
x = 90 * (5/6)
x = 75

Jika 6/5x + 30 = 240 + 360k:
6/5x = 210
x = 210 * (5/6)
x = 175

Kasus 2: cos(6/5x+30) = -1
Nilai kosinus -1 terjadi pada sudut 180 derajat (pi radian).

Jika 6/5x + 30 = 180 + 360k:
6/5x = 150
x = 150 * (5/6)
x = 125

Sekarang kita perlu memeriksa batasan 0 <= x <= pi. Jika pi dalam derajat adalah 180 derajat:

-   Untuk x = 75: Ini berada dalam rentang 0 <= x <= 180.
-   Untuk x = 175: Ini berada dalam rentang 0 <= x <= 180.
-   Untuk x = 125: Ini berada dalam rentang 0 <= x <= 180.

Namun, perlu diperhatikan bahwa penambahan "30" di dalam argumen kosinus sangat mungkin merujuk pada derajat jika soal berasal dari konteks trigonometri yang umum menggunakan derajat. Jika "30" adalah radian, maka perhitungannya akan berbeda dan perlu konversi lebih lanjut.

Jika kita mengasumsikan bahwa "30" merujuk pada derajat, maka kita perlu memastikan bahwa nilai "x" yang dihasilkan konsisten dengan satuan sudut yang digunakan dalam argumen (6/5x + 30).

Mari kita asumsikan "30" adalah derajat. Maka batasan 0 <= x <= pi juga perlu diperjelas. Jika pi di sini adalah konstanta matematika (sekitar 3.14), maka x seharusnya juga dalam unit yang sama. Jika pi merujuk pada 180 derajat, maka kita perlu mengkonversi argumen ke radian atau x ke derajat.

Kita perlu mengklarifikasi apakah "30" dalam "6/5x+30" adalah derajat atau radian, dan apakah "pi" dalam "0<=x<=pi" adalah konstanta atau 180 derajat. Namun, dengan format soal yang ada, mari kita asumsikan bahwa "30" adalah derajat dan "pi" merujuk pada 180 derajat, sehingga batasan adalah 0 <= x <= 180 derajat.

Dalam kasus ini, nilai x yang memenuhi adalah 75, 175, dan 125.

Jika kita harus bekerja dalam radian:
cos(theta) = -1/2 => theta = 2pi/3, 4pi/3
cos(theta) = -1 => theta = pi

Kita perlu mengkonversi argumen (6/5x + 30) ke radian jika 30 adalah derajat, atau jika semuanya dalam radian, maka 30 adalah 30 radian.

Mengasumsikan "30" adalah derajat dan kita ingin solusi dalam radian untuk "x", batasan "0 <= x <= pi" berarti x dalam radian.

6/5x + pi/6 (30 derajat) = 2pi/3 + 2k*pi
6/5x = 2pi/3 - pi/6 = 4pi/6 - pi/6 = 3pi/6 = pi/2
x = (pi/2) * (5/6) = 5pi/12

6/5x + pi/6 = 4pi/3 + 2k*pi
6/5x = 4pi/3 - pi/6 = 8pi/6 - pi/6 = 7pi/6
x = (7pi/6) * (5/6) = 35pi/36

6/5x + pi/6 = pi + 2k*pi
6/5x = pi - pi/6 = 5pi/6
x = (5pi/6) * (5/6) = 25pi/36

Sekarang kita cek batasan 0 <= x <= pi:
- x = 5pi/12: ini dalam rentang 0 sampai pi.
- x = 35pi/36: ini dalam rentang 0 sampai pi.
- x = 25pi/36: ini dalam rentang 0 sampai pi.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 5pi/12, 35pi/36, dan 25pi/36.

Jika soal menghendaki jawaban dalam derajat, maka:
x = 75 derajat
x = 175 derajat
x = 125 derajat

Dan batasan 0 <= x <= pi akan diartikan sebagai 0 <= x <= 180 derajat.

Karena tidak ada instruksi spesifik mengenai satuan, dan seringkali dalam konteks seperti ini "30" menyiratkan derajat dan "pi" menyiratkan 180 derajat untuk batasan "x", kita akan menyajikan jawaban dalam derajat.

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos^2(6/5x+30)+3 cos(6/5x+30)+1=0 untuk 0<=x<=180 (derajat) adalah x = 75 derajat, x = 125 derajat, dan x = 175 derajat.