Tentukan nilai yang memenuhi persamaan 2log(2x-3) -

Nilai x yang memenuhi adalah 5/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2log(2x-3) - 4log(x-3/2) = 1, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut terlebih dahulu. Menggunakan sifat logaritma, kita bisa mengubah bentuk persamaan menjadi:

2log(2x-3) - 2*2log(x-3/2) = 1

2log(2x-3) - 2log((x-3/2)^2) = 1

Kemudian, kita bisa menggabungkan logaritma:

2log[(2x-3) / (x-3/2)^2] = 1

Untuk menyelesaikan logaritma basis 2, kita ubah persamaan menjadi bentuk eksponensial:

(2x-3) / (x-3/2)^2 = 2^1

(2x-3) / (x^2 - 3x + 9/4) = 2

2x-3 = 2(x^2 - 3x + 9/4)

2x-3 = 2x^2 - 6x + 9/2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:

2x^2 - 6x - 2x + 9/2 + 3 = 0

2x^2 - 8x + 15/2 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:

4x^2 - 16x + 15 = 0

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:

(2x - 3)(2x - 5) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk x:

2x - 3 = 0  => x = 3/2

2x - 5 = 0  => x = 5/2

Namun, kita perlu memeriksa kedua solusi ini terhadap domain logaritma dalam persamaan asli. Argumen logaritma harus positif.

Untuk x = 3/2:

2x - 3 = 2(3/2) - 3 = 3 - 3 = 0. Karena argumen logaritma tidak boleh nol, x = 3/2 bukan solusi yang valid.

Untuk x = 5/2:

2x - 3 = 2(5/2) - 3 = 5 - 3 = 2 (positif)

x - 3/2 = 5/2 - 3/2 = 2/2 = 1 (positif)

Karena kedua argumen logaritma positif untuk x = 5/2, maka solusi yang memenuhi persamaan adalah x = 5/2.