Tentukan notasi sigma deret 8 + 20 + 36 + 56 + +1.100

∑_{n=1}^{30} (2n² + 6n)

Pembahasan

Untuk menentukan notasi sigma dari deret 8 + 20 + 36 + 56 + ... + 1.100 dengan batas atas 30, kita perlu menemukan pola umum suku-sukunya terlebih dahulu.

Mari kita analisis selisih antar suku:
Suku ke-1: 8
Suku ke-2: 20 (selisih 12)
Suku ke-3: 36 (selisih 16)
Suku ke-4: 56 (selisih 20)

Karena selisih antar suku tidak konstan, kita lihat selisih dari selisih tersebut:
Selisih pertama: 12, 16, 20
Selisih kedua: 4, 4

Karena selisih kedua konstan (4), ini menunjukkan bahwa deret ini adalah deret aritmetika tingkat dua, yang dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial kuadratik: Un = an² + bn + c.

Kita tahu bahwa untuk deret aritmetika tingkat dua:
2a = selisih kedua = 4  => a = 2
3a + b = selisih pertama suku pertama = 12 => 3(2) + b = 12 => 6 + b = 12 => b = 6
a + b + c = suku pertama = 8 => 2 + 6 + c = 8 => 8 + c = 8 => c = 0

Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 2n² + 6n.

Mari kita uji rumus ini:
U1 = 2(1)² + 6(1) = 2 + 6 = 8 (Benar)
U2 = 2(2)² + 6(2) = 2(4) + 12 = 8 + 12 = 20 (Benar)
U3 = 2(3)² + 6(3) = 2(9) + 18 = 18 + 18 = 36 (Benar)
U4 = 2(4)² + 6(4) = 2(16) + 24 = 32 + 24 = 56 (Benar)

Sekarang kita perlu mencari suku ke-n yang nilainya 1.100:
Un = 1100
2n² + 6n = 1100
2n² + 6n - 1100 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 2:
n² + 3n - 550 = 0

Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -550 dan jika dijumlahkan hasilnya 3. Kita bisa menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat.
Mari kita coba faktorisasi:
550 = 10 * 55 = 2 * 5 * 5 * 11 = 2 * 5² * 11
Kita cari pasangan faktor yang selisihnya 3.
Faktor-faktor 550: (1, 550), (2, 275), (5, 110), (10, 55), (11, 50), (22, 25).
Pasangan (22, 25) memiliki selisih 3.
Karena hasil penjumlahannya positif (+3), maka bilangan yang lebih besar adalah positif.
(n + 25)(n - 22) = 0
Ini memberikan solusi n = -25 atau n = 22.
Karena n harus positif (merupakan nomor suku), maka n = 22.

Jadi, 1.100 adalah suku ke-22.

Deret ini memiliki 22 suku. Namun, soal meminta notasi sigma dengan batas atas 30. Ini berarti kita harus menuliskan deret tersebut dalam notasi sigma dari suku pertama (n=1) hingga suku terakhir yang relevan, dengan batas atas yang diminta adalah 30.

Rumus suku umum adalah Un = 2n² + 6n.

Notasi sigma deret ini adalah:
∑ (2n² + 6n)
dari n=1 sampai n=22.

Namun, soal meminta notasi sigma dengan batas atas 30. Ini bisa berarti dua hal:
1. Deretnya sebenarnya berlanjut hingga suku ke-30, tetapi suku terakhir yang diberikan (1.100) adalah suku ke-22.
2. Soal ingin kita menuliskan deret tersebut dalam notasi sigma dengan batas atas 30, yang berarti kita perlu mendefinisikan suku-suku hingga n=30, meskipun suku terakhir yang diberikan adalah 1.100 (suku ke-22).

Jika kita mengikuti maksud soal untuk menulis notasi sigma dengan batas atas 30, maka:
Deretnya adalah 8 + 20 + 36 + 56 + ... + U22 + U23 + ... + U30.
Rumus suku umumnya adalah Un = 2n² + 6n.

Maka, notasi sigma dengan batas atas 30 adalah:
∑_{n=1}^{30} (2n² + 6n)

Perlu diperhatikan bahwa suku terakhir yang disebutkan (1.100) adalah U22, bukan U30. Jika soal ingin menjumlahkan hanya suku-suku yang diberikan hingga 1.100, maka batas atasnya adalah 22. Tetapi karena diminta batas atas 30, kita harus menginterpretasikannya demikian.

Jadi, notasi sigma deret tersebut dengan batas atas 30 adalah: ∑_{n=1}^{30} (2n² + 6n).