Tentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x+3y>18

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan bilangan bulat positif (x,y) yang memenuhi kedua pertidaksamaan, termasuk (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,5) hingga (2,11), (3,5) hingga (3,11), (4,4) hingga (4,9), dan (5,3) hingga (5,5).

Pembahasan

Untuk menentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y > 18 dan y < -x^2 + 5x + 6, dengan x dan y bilangan bulat positif, kita perlu mencari pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.

Pertama, mari kita analisis pertidaksamaan linier: 2x + 3y > 18.
Kita perlu mencari pasangan (x, y) bilangan bulat positif yang memenuhi ini. Beberapa contoh pasangan yang memenuhi:
Jika x=1, 2(1) + 3y > 18 => 3y > 16 => y > 16/3. Maka y bisa 6, 7, 8, ...
Jika x=2, 2(2) + 3y > 18 => 4 + 3y > 18 => 3y > 14 => y > 14/3. Maka y bisa 5, 6, 7, ...
Jika x=3, 2(3) + 3y > 18 => 6 + 3y > 18 => 3y > 12 => y > 4. Maka y bisa 5, 6, 7, ...
Jika x=4, 2(4) + 3y > 18 => 8 + 3y > 18 => 3y > 10 => y > 10/3. Maka y bisa 4, 5, 6, ...
Jika x=5, 2(5) + 3y > 18 => 10 + 3y > 18 => 3y > 8 => y > 8/3. Maka y bisa 3, 4, 5, ...
Jika x=6, 2(6) + 3y > 18 => 12 + 3y > 18 => 3y > 6 => y > 2. Maka y bisa 3, 4, 5, ...
Jika x=7, 2(7) + 3y > 18 => 14 + 3y > 18 => 3y > 4 => y > 4/3. Maka y bisa 2, 3, 4, ...
Jika x=8, 2(8) + 3y > 18 => 16 + 3y > 18 => 3y > 2 => y > 2/3. Maka y bisa 1, 2, 3, ...

Selanjutnya, mari kita analisis pertidaksamaan kuadrat: y < -x^2 + 5x + 6.
Kita juga perlu mencari pasangan (x, y) bilangan bulat positif yang memenuhi ini.
Mari kita tentukan titik potong parabola y = -x^2 + 5x + 6 dengan sumbu x (y=0):
0 = -x^2 + 5x + 6
x^2 - 5x - 6 = 0
(x - 6)(x + 1) = 0
Jadi, titik potongnya adalah x = 6 dan x = -1. Parabola terbuka ke bawah.

Sekarang kita cari nilai y untuk beberapa nilai x positif:
Jika x=1: y < -(1)^2 + 5(1) + 6 = -1 + 5 + 6 = 10. Maka y bisa 1, 2, ..., 9.
Jika x=2: y < -(2)^2 + 5(2) + 6 = -4 + 10 + 6 = 12. Maka y bisa 1, 2, ..., 11.
Jika x=3: y < -(3)^2 + 5(3) + 6 = -9 + 15 + 6 = 12. Maka y bisa 1, 2, ..., 11.
Jika x=4: y < -(4)^2 + 5(4) + 6 = -16 + 20 + 6 = 10. Maka y bisa 1, 2, ..., 9.
Jika x=5: y < -(5)^2 + 5(5) + 6 = -25 + 25 + 6 = 6. Maka y bisa 1, 2, ..., 5.
Jika x=6: y < -(6)^2 + 5(6) + 6 = -36 + 30 + 6 = 0. Tidak ada y positif yang memenuhi.
Jika x=7: y < -(7)^2 + 5(7) + 6 = -49 + 35 + 6 = -8. Tidak ada y positif yang memenuhi.

Sekarang kita gabungkan kedua kondisi untuk bilangan bulat positif x dan y:

Untuk x=1: Dari 2x+3y>18, y>=6. Dari y<-x^2+5x+6, y<=9. Maka y bisa 6, 7, 8, 9. Penyelesaian: (1,6), (1,7), (1,8), (1,9).
Untuk x=2: Dari 2x+3y>18, y>=5. Dari y<-x^2+5x+6, y<=11. Maka y bisa 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Penyelesaian: (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (2,10), (2,11).
Untuk x=3: Dari 2x+3y>18, y>=5. Dari y<-x^2+5x+6, y<=11. Maka y bisa 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Penyelesaian: (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (3,10), (3,11).
Untuk x=4: Dari 2x+3y>18, y>=4. Dari y<-x^2+5x+6, y<=9. Maka y bisa 4, 5, 6, 7, 8, 9. Penyelesaian: (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9).
Untuk x=5: Dari 2x+3y>18, y>=3. Dari y<-x^2+5x+6, y<=5. Maka y bisa 3, 4, 5. Penyelesaian: (5,3), (5,4), (5,5).
Untuk x=6: Dari 2x+3y>18, y>=3. Dari y<-x^2+5x+6, y<=0. Tidak ada y positif yang memenuhi.

Jadi, penyelesaian dari sistem pertidaksamaan untuk bilangan bulat positif adalah gabungan dari semua pasangan (x,y) yang ditemukan di atas.