Tentukan penyelesaian persamaan Iinear tiga variabel

x = -2, y = 7, z = -3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel 2x-y+2z=-17, 3x+2y-3z=17, dan 2x-2y+z=-21 dengan metode eliminasi substitusi (gabungan), kita ikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Eliminasi salah satu variabel dari dua pasang persamaan.**
    Mari kita eliminasi variabel y.
    *   Persamaan (1) dan (2):
        (2x - y + 2z = -17) * 2  =>  4x - 2y + 4z = -34
        3x + 2y - 3z = 17
        Jumlahkan kedua persamaan:
        (4x - 2y + 4z) + (3x + 2y - 3z) = -34 + 17
        7x + z = -17  (Persamaan 4)

    *   Persamaan (1) dan (3):
        2x - y + 2z = -17
        (2x - 2y + z = -21) * 2  =>  4x - 4y + 2z = -42
        Kalikan persamaan (1) dengan 2:
        (2x - y + 2z = -17) * 2  =>  4x - 2y + 4z = -34
        Kurangkan persamaan (3) yang sudah dikalikan 2 dengan persamaan (1) yang sudah dikalikan 2:
        (4x - 4y + 2z) - (4x - 2y + 4z) = -42 - (-34)
        4x - 4y + 2z - 4x + 2y - 4z = -42 + 34
        -2y - 2z = -8
        y + z = 4 (Persamaan 5)

    *   Sekarang kita punya sistem baru dengan dua variabel:
        7x + z = -17 (Persamaan 4)
        y + z = 4 (Persamaan 5)

    Agar bisa menyelesaikan dengan eliminasi substitusi, kita perlu satu persamaan lagi yang melibatkan x dan y atau x dan z. Mari kita coba eliminasi z dari persamaan (2) dan (3).
    *   Persamaan (2) dan (3):
        3x + 2y - 3z = 17
        (2x - 2y + z = -21) * 3  =>  6x - 6y + 3z = -63
        Jumlahkan kedua persamaan:
        (3x + 2y - 3z) + (6x - 6y + 3z) = 17 + (-63)
        9x - 4y = -46 (Persamaan 6)

2.  **Selesaikan sistem persamaan dua variabel.**
    Kita punya:
    7x + z = -17 (Persamaan 4)
    y + z = 4 (Persamaan 5)
    9x - 4y = -46 (Persamaan 6)

    Dari Persamaan 5, kita bisa nyatakan y dalam z: y = 4 - z.
    Substitusikan ini ke Persamaan 6:
    9x - 4(4 - z) = -46
    9x - 16 + 4z = -46
    9x + 4z = -46 + 16
    9x + 4z = -30 (Persamaan 7)

    Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan x dan z:
    7x + z = -17 (Persamaan 4)
    9x + 4z = -30 (Persamaan 7)

    Mari kita eliminasi z. Kalikan Persamaan 4 dengan 4:
    (7x + z = -17) * 4  =>  28x + 4z = -68
    9x + 4z = -30

    Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
    (28x + 4z) - (9x + 4z) = -68 - (-30)
    28x + 4z - 9x - 4z = -68 + 30
    19x = -38
    x = -38 / 19
    x = -2

3.  **Substitusikan nilai x untuk mencari variabel lainnya.**
    *   Cari nilai z menggunakan Persamaan 4:
        7x + z = -17
        7(-2) + z = -17
        -14 + z = -17
        z = -17 + 14
        z = -3

    *   Cari nilai y menggunakan Persamaan 5:
        y + z = 4
        y + (-3) = 4
        y - 3 = 4
        y = 4 + 3
        y = 7

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x = -2, y = 7, dan z = -3.