Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel

x = -1, y = 3, z = -2

Pembahasan

Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
(2x-y)/5 = z+1 ...(1)
3x+2 = y+2z ...(2)
(5x+2z)/3 = -(y+9)/4 ...(3)

Langkah 1: Ubah semua persamaan ke bentuk standar Ax + By + Cz = D.

Dari persamaan (1):
2x - y = 5(z + 1)
2x - y = 5z + 5
2x - y - 5z = 5 ...(1')

Dari persamaan (2):
3x + 2 = y + 2z
3x - y - 2z = -2 ...(2')

Dari persamaan (3):
4(5x + 2z) = -3(y + 9)
20x + 8z = -3y - 27
20x + 3y + 8z = -27 ...(3')

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear tiga variabel dalam bentuk standar:
1) 2x - y - 5z = 5
2) 3x - y - 2z = -2
3) 20x + 3y + 8z = -27

Langkah 2: Gunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem.
Mari kita gunakan metode eliminasi.

Eliminasi y dari persamaan (1') dan (2'):
(1') - (2'):
(2x - y - 5z) - (3x - y - 2z) = 5 - (-2)
2x - y - 5z - 3x + y + 2z = 7
-x - 3z = 7 ...(4)
Kalikan persamaan (4) dengan 3 untuk mengeliminasi y dari persamaan (2') dan (3'):
3 * (3x - y - 2z) = 3 * (-2)
9x - 3y - 6z = -6 ...(2'')

Jumlahkan persamaan (2'') dan (3'):
(9x - 3y - 6z) + (20x + 3y + 8z) = -6 + (-27)
29x + 2z = -33 ...(5)

Sekarang kita memiliki sistem dua variabel dari persamaan (4) dan (5):
4) -x - 3z = 7
5) 29x + 2z = -33

Dari persamaan (4), kita bisa menyatakan x dalam z:
x = -7 - 3z

Substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan (5):
29(-7 - 3z) + 2z = -33
-203 - 87z + 2z = -33
-203 - 85z = -33
-85z = -33 + 203
-85z = 170
z = 170 / -85
z = -2

Sekarang substitusikan nilai z = -2 kembali ke persamaan untuk x:
x = -7 - 3z
x = -7 - 3(-2)
x = -7 + 6
x = -1

Terakhir, substitusikan nilai x = -1 dan z = -2 ke salah satu persamaan awal (misalnya, persamaan (2')) untuk menemukan y:
3x - y - 2z = -2
3(-1) - y - 2(-2) = -2
-3 - y + 4 = -2
1 - y = -2
-y = -2 - 1
-y = -3
y = 3

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = -1, y = 3, dan z = -2.