Tentukan perbandingan ukuran tabung tegak dengan volume

Jari-jari tabung adalah 2/3 jari-jari kerucut, dan tinggi tabung adalah 1/3 tinggi kerucut.

Pembahasan

Misalkan kerucut memiliki jari-jari alas R dan tinggi H. Volume kerucut adalah $V_{kerucut} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Misalkan tabung yang dibuat di dalam kerucut memiliki jari-jari r dan tinggi h. Volume tabung adalah $V_{tabung} = \pi r^2 h$.

Kita perlu mencari hubungan antara r, h, R, dan H menggunakan kesamaan segitiga. Perhatikan penampang kerucut dan tabung:

Sebuah segitiga besar (dari kerucut) memiliki alas 2R dan tinggi H. Di dalamnya terdapat segitiga kecil (dari ruang di atas tabung) yang memiliki alas 2r dan tinggi (H-h).

Dari kesamaan segitiga:
$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}$
$r = R(1 - \frac{h}{H})$
atau
$h = H(1 - \frac{r}{R})$

Sekarang, substitusikan ekspresi untuk h ke dalam rumus volume tabung:
$V_{tabung} = \pi r^2 h = \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R})$
$V_{tabung} = \pi H (r^2 - \frac{r^3}{R})$

Untuk mencari volume maksimum, kita turunkan $V_{tabung}$ terhadap r dan samakan dengan nol:
$\frac{dV_{tabung}}{dr} = \pi H (2r - \frac{3r^2}{R})$

Samakan dengan nol:
$\pi H (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$
$2r - \frac{3r^2}{R} = 0$
$r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$

Karena $r 
eq 0$, maka:
$2 - \frac{3r}{R} = 0$
$2 = \frac{3r}{R}$
$r = \frac{2}{3}R$

Sekarang cari tinggi tabung (h) yang sesuai:
$h = H(1 - \frac{r}{R}) = H(1 - \frac{\frac{2}{3}R}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = H(\frac{1}{3})$
$h = \frac{1}{3}H$

Jadi, rasio ukuran tabung dengan volume maksimum yang dapat dibuat di dalam kerucut adalah:
Jari-jari tabung ($r$) adalah $\frac{2}{3}$ kali jari-jari kerucut ($R$).
Tinggi tabung ($h$) adalah $\frac{1}{3}$ kali tinggi kerucut ($H$).

Perbandingan ukuran (misalnya, rasio jari-jari terhadap tinggi) akan bergantung pada bagaimana "ukuran" didefinisikan. Jika yang dimaksud adalah rasio r:h, maka:
$r:h = \frac{2}{3}R : \frac{1}{3}H$. Ini tidak memberikan perbandingan numerik tunggal tanpa mengetahui hubungan R dan H.

Namun, jika soal meminta perbandingan antara dimensi tabung yang memaksimalkan volume terhadap dimensi kerucut, maka perbandingannya adalah:
Jari-jari tabung terhadap jari-jari kerucut: $r/R = 2/3$.
Tinggi tabung terhadap tinggi kerucut: $h/H = 1/3$. 

Jika ditanyakan perbandingan ukuran tabung itu sendiri (misal rasio jari-jari terhadap tinggi tabung): $r/h = (2/3 R) / (1/3 H) = 2R/H$. Ini masih bergantung pada dimensi kerucut.