Tentukan persamaan bayangan garis x+3y=2 oleh komposisi

Persamaan bayangan garisnya adalah 3x + y = -4.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis x + 3y = 2 oleh komposisi transformasi refleksi terhadap garis y = -x dilanjutkan dilatasi berpusat di O(0, 0) dengan faktor skala k = 2, kita perlu menerapkan kedua transformasi secara berurutan.

Langkah 1: Refleksi terhadap garis y = -x
Jika sebuah titik (x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x, bayangannya adalah (-y, -x).
Jadi, x' = -y dan y' = -x. Dari sini kita dapatkan y = -x' dan x = -y'.
Mengganti ini ke persamaan garis awal:
(-y') + 3(-x') = 2
-y' - 3x' = 2
3x' + y' = -2
Jadi, persamaan garis setelah refleksi adalah 3x + y = -2.

Langkah 2: Dilatasi berpusat di O(0, 0) dengan faktor skala k = 2
Jika sebuah titik (x, y) didilatasikan terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k, bayangannya adalah (kx, ky).
Dalam kasus ini, kita menerapkan dilatasi ke persamaan garis setelah refleksi (3x + y = -2). Biarkan titik pada garis yang telah direfleksi adalah (x', y'). Bayangannya setelah dilatasi adalah (x'', y'').
Maka, x'' = 2x' dan y'' = 2y'. Dari sini kita dapatkan x' = x''/2 dan y' = y''/2.
Mengganti ini ke persamaan garis setelah refleksi:
3(x''/2) + (y''/2) = -2
Kalikan kedua sisi dengan 2:
3x'' + y'' = -4

Jadi, persamaan bayangan garis setelah komposisi transformasi adalah 3x + y = -4.