Tentukan persamaan fungsi kuadrat dari gambar di bawah ini.

Persamaan fungsi kuadrat yang mungkin adalah y = -4/9 x^2 + 5, dengan asumsi simetri atau titik (-3,1) juga ada.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat dari gambar, kita perlu mengidentifikasi titik-titik yang diketahui pada grafik. Dari gambar, kita memiliki titik (0,5), (3,1), dan titik lain yang tidak jelas namun diasumsikan sebagai akar atau titik penting lainnya. Namun, berdasarkan dua titik yang diberikan (0,5) dan (3,1), kita bisa mulai dengan bentuk umum fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + c. 

Titik (0,5) berarti ketika x=0, y=5. Substitusikan ke dalam persamaan:
5 = a(0)^2 + b(0) + c
5 = c

Jadi, kita tahu bahwa c = 5. Persamaan menjadi y = ax^2 + bx + 5.

Sekarang, gunakan titik (3,1). Substitusikan x=3 dan y=1:
1 = a(3)^2 + b(3) + 5
1 = 9a + 3b + 5
-4 = 9a + 3b
Bagi dengan 3:
-4/3 = 3a + b

Tanpa titik ketiga, kita tidak dapat secara unik menentukan nilai a dan b. Jika kita mengasumsikan bahwa titik (0,5) adalah puncak parabola dan sumbu simetrinya adalah x=0, maka b=0. Dalam kasus ini, persamaan menjadi y = ax^2 + 5. Menggunakan titik (3,1):
1 = a(3)^2 + 5
1 = 9a + 5
-4 = 9a
a = -4/9
Sehingga persamaannya adalah y = -4/9 x^2 + 5.

Namun, jika gambar menunjukkan bahwa kedua titik (0,5) dan (3,1) adalah bagian dari parabola yang membuka ke bawah dan memiliki puncak di antara x=0 dan x=3, kita memerlukan informasi lebih lanjut, seperti titik lain atau puncak. Jika (0,5) adalah titik potong sumbu y dan (3,1) adalah titik lain pada parabola, kita memerlukan satu informasi lagi untuk menemukan a dan b. 

Jika kita mengasumsikan bahwa ada titik lain, misalnya titik potong sumbu x, atau koordinat puncaknya, kita dapat menyelesaikannya. 

Asumsi lain: Jika (0,5) adalah titik potong sumbu y dan parabola melewati (3,1), dan kita menganggap ada simetri atau titik lain. Misalnya, jika titik (-3,1) juga ada di grafik, maka kita punya:
1 = a(-3)^2 + b(-3) + 5
1 = 9a - 3b + 5
-4 = 9a - 3b
Kita punya sistem persamaan:
1) 9a + 3b = -4
2) 9a - 3b = -4
Jumlahkan kedua persamaan:
18a = -8
a = -8/18 = -4/9
Substitusikan a ke persamaan 1:
9(-4/9) + 3b = -4
-4 + 3b = -4
3b = 0
b = 0
Dalam kasus ini, persamaannya adalah y = -4/9 x^2 + 5.