Tentukan persamaan garis singgung dengan ketentuan berikut.

x + 2y = 10 dan -x + 2y = 10

Pembahasan

Persamaan lingkaran L ekuivalen x^2 + y^2 = 20 memiliki pusat O(0,0) dan jari-jari r = sqrt(20).
Titik P(0, 5) berada pada lingkaran karena 0^2 + 5^2 = 25 ≠ 20. Oh, ternyata titik P(0, 5) tidak berada pada lingkaran. Mari kita cek apakah ada kesalahan penulisan soal atau asumsi. Jika soal ini benar, maka kita perlu mencari garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran atau ada kesalahan pada nilai jari-jari atau titik P.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa titik P(0, 5) seharusnya berada pada lingkaran (atau ada kesalahan pada persamaan lingkaran), mari kita coba pendekatan lain.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini adalah mencari persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2 = 25 (agar titik P(0,5) berada di lingkaran), maka:
Persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 = r^2 yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran adalah x*x1 + y*y1 = r^2.
Dengan titik P(0, 5) pada lingkaran x^2 + y^2 = 25:
x*(0) + y*(5) = 25
5y = 25
y = 5
Ini adalah garis horizontal.

Mari kita kembali ke soal asli dengan L ekuivalen x^2 + y^2 = 20 dan titik P(0, 5).
Titik P(0, 5) berada di luar lingkaran karena jarak dari pusat (0,0) ke P adalah 5, sedangkan jari-jari lingkaran adalah sqrt(20) ≈ 4.47.

Untuk mencari garis singgung dari titik di luar lingkaran, kita bisa menggunakan beberapa metode:

Metode 1: Menggunakan gradien.
Misalkan garis singgung memiliki gradien m. Persamaan garis yang melalui P(0, 5) adalah y - 5 = m(x - 0) atau y = mx + 5.
Substitusikan ke persamaan lingkaran:
x^2 + (mx + 5)^2 = 20
x^2 + m^2x^2 + 10mx + 25 = 20
(1 + m^2)x^2 + 10mx + 5 = 0
Agar menyinggung, diskriminan (D) harus nol: D = b^2 - 4ac = 0
(10m)^2 - 4(1 + m^2)(5) = 0
100m^2 - 20(1 + m^2) = 0
100m^2 - 20 - 20m^2 = 0
80m^2 = 20
m^2 = 20/80
m^2 = 1/4
m = ± 1/2

Jika m = 1/2, y = (1/2)x + 5
Jika m = -1/2, y = (-1/2)x + 5

Metode 2: Menggunakan sifat tegak lurus jari-jari.
Misalkan titik singgungnya adalah (x_t, y_t). Persamaan garis singgungnya adalah x*x_t + y*y_t = 20.
Karena garis ini melalui P(0, 5), maka 0*x_t + 5*y_t = 20 => 5y_t = 20 => y_t = 4.
Karena titik (x_t, y_t) berada pada lingkaran, maka x_t^2 + y_t^2 = 20.
x_t^2 + 4^2 = 20
x_t^2 + 16 = 20
x_t^2 = 4
x_t = ± 2.

Jadi, titik singgungnya adalah (2, 4) dan (-2, 4).

Jika titik singgungnya (2, 4):
x*(2) + y*(4) = 20
2x + 4y = 20
x + 2y = 10

Jika titik singgungnya (-2, 4):
x*(-2) + y*(4) = 20
-2x + 4y = 20
-x + 2y = 10

Kedua metode memberikan hasil yang berbeda karena metode pertama mencari garis singgung yang melalui titik P, sedangkan metode kedua mengasumsikan titik singgung berada pada lingkaran. Karena P(0,5) tidak berada pada lingkaran, metode kedua lebih tepat untuk mencari garis singgung yang melalui P. Mari kita cek gradien dari garis singgung dari metode kedua:
Garis x + 2y = 10 => 2y = -x + 10 => y = (-1/2)x + 5. Gradien m = -1/2.
Garis -x + 2y = 10 => 2y = x + 10 => y = (1/2)x + 5. Gradien m = 1/2.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x + 2y = 10 dan -x + 2y = 10.