Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah $x - 2y - 14 = 0$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 20$ di titik $(4, -5)$, kita dapat menggunakan rumus turunan atau rumus spesifik untuk garis singgung lingkaran.
Metode 1: Menggunakan Turunan
Turunkan kedua sisi persamaan lingkaran terhadap $x$: 
$rac{d}{dx}(x-2)^2 + rac{d}{dx}(y+1)^2 = rac{d}{dx}(20)$
$2(x-2) rac{dx}{dx} + 2(y+1) rac{dy}{dx} = 0$
$2(x-2) + 2(y+1) rac{dy}{dx} = 0$
$2(y+1) rac{dy}{dx} = -2(x-2)$
$rac{dy}{dx} = -rac{x-2}{y+1}$

Sekarang, substitusikan titik $(4, -5)$ untuk mencari gradien ($m$) di titik tersebut:
$m = rac{dy}{dx} igg|_{(4, -5)} = -rac{4-2}{-5+1} = -rac{2}{-4} = rac{1}{2}$

Dengan gradien $m = rac{1}{2}$ dan titik $(4, -5)$, gunakan rumus persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$: 
$y - (-5) = rac{1}{2}(x - 4)$
$y + 5 = rac{1}{2}x - 2$
$y = rac{1}{2}x - 7$
Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan: $2y = x - 14$, atau $x - 2y - 14 = 0$.

Metode 2: Menggunakan Rumus Garis Singgung
Untuk lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$, persamaan garis singgungnya adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$.
Dalam kasus ini, $a=2$, $b=-1$, $r^2=20$, $x_1=4$, $y_1=-5$.
Substitusikan nilai-nilai ini:
$(4-2)(x-2) + (-5-(-1))(y-(-1)) = 20$
$2(x-2) + (-4)(y+1) = 20$
$2x - 4 - 4y - 4 = 20$
$2x - 4y - 8 = 20$
$2x - 4y = 28$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x - 2y = 14$
$x - 2y - 14 = 0$.

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik (4, -5) adalah $x - 2y - 14 = 0$.