Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola

Persamaan garis singgungnya adalah y = 2x - 7 ± √(325/6).

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus terhadap garis yang diberikan, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Persamaan Hiperbola: 15x² - 10y² - 90x - 20y - 200 = 0
Persamaan Garis: 2x + 4y - 3 = 0

Langkah 1: Ubah persamaan hiperbola ke bentuk standar.
Kelompokkan suku-suku x dan y:
(15x² - 90x) - (10y² + 20y) = 200
Faktorkan koefisien dari x² dan y²:
15(x² - 6x) - 10(y² + 2y) = 200
Lengkapi kuadrat untuk x dan y:
15(x² - 6x + 9 - 9) - 10(y² + 2y + 1 - 1) = 200
15((x - 3)² - 9) - 10((y + 1)² - 1) = 200
15(x - 3)² - 135 - 10(y + 1)² + 10 = 200
15(x - 3)² - 10(y + 1)² = 200 + 135 - 10
15(x - 3)² - 10(y + 1)² = 325
Bagi kedua sisi dengan 325 untuk mendapatkan bentuk standar:
(x - 3)² / (325/15) - (y + 1)² / (325/10) = 1
(x - 3)² / (65/3) - (y + 1)² / (65/2) = 1
Ini adalah bentuk standar hiperbola dengan pusat (h, k) = (3, -1), a² = 65/3, dan b² = 65/2.

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung.
Gradien garis 2x + 4y - 3 = 0 adalah m_garis.
4y = -2x + 3
y = (-2/4)x + 3/4
y = (-1/2)x + 3/4
Jadi, m_garis = -1/2.
Garis singgung tegak lurus terhadap garis ini, sehingga gradien garis singgung (m_singgung) adalah:
m_singgung = -1 / m_garis = -1 / (-1/2) = 2.

Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis singgung hiperbola.
Persamaan garis singgung hiperbola (x²/a²) - (y²/b²) = 1 yang memiliki gradien m adalah y = mx ± √(a²m² - b²).
Dalam kasus kita, persamaan hiperbolanya adalah ((x-h)²/a²) - ((y-k)²/b²) = 1.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah (y - k) = m(x - h) ± √(a²m² - b²).
Dengan pusat (h, k) = (3, -1), a² = 65/3, b² = 65/2, dan m = 2.

Hitung a²m² - b²:
a²m² - b² = (65/3)(2²) - (65/2)
= (65/3)(4) - 65/2
= 260/3 - 65/2
Samakan penyebutnya:
= (520 - 195) / 6
= 325 / 6

Sekarang substitusikan ke dalam rumus garis singgung:
(y - (-1)) = 2(x - 3) ± √(325/6)
(y + 1) = 2(x - 3) ± √(325/6)
y + 1 = 2x - 6 ± √(325/6)
y = 2x - 7 ± √(325/6)

Kita bisa sederhanakan √(325/6) = √(25 * 13 / 6) = 5√(13/6) = 5√78 / 6.
Jadi, persamaannya adalah:
y = 2x - 7 ± (5√78 / 6).

Atau, dalam bentuk Ax + By + C = 0:
6y = 12x - 42 ± 5√78
12x - 6y - 42 ± 5√78 = 0.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 2x - 7 ± √(325/6).