Untuk a>=0, b>=0, dan c>=0, buktikan bahwa

Gunakan substitusi a=x^3, b=y^3, c=z^3 dan identitas x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) serta sifat bahwa kuadrat selalu non-negatif.

Pembahasan

Kita diminta untuk membuktikan ketaksamaan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) untuk tiga bilangan non-negatif a, b, dan c, yaitu (a+b+c)/3 >= abc^(1/3).

Bukti ini dapat dilakukan dengan berbagai cara, salah satunya menggunakan ketaksamaan Jensen untuk fungsi cekung atau dengan menggunakan kasus spesifik.

Berikut adalah salah satu pendekatan bukti menggunakan ketaksamaan yang lebih sederhana:

1.  Kita tahu bahwa untuk dua bilangan non-negatif x dan y, berlaku ketaksamaan AM-GM: (x+y)/2 >= sqrt(xy).
2.  Mari kita terapkan ini pada tiga bilangan a, b, dan c.
    Pertama, kita kelompokkan dua bilangan, misalnya a dan b:
    (a+b)/2 >= sqrt(ab)
3.  Sekarang, kita perlu memasukkan bilangan ketiga, c. Kita bisa menerapkan ketaksamaan AM-GM lagi pada (a+b)/2 dan c.
    Misalkan x = (a+b)/2 dan y = c.
Maka, ketaksamaan AM-GM menjadi:
    (x+y)/2 >= sqrt(xy)
    ((a+b)/2 + c)/2 >= sqrt(((a+b)/2) * c)
4.  Sederhanakan sisi kiri:
    ((a+b+2c)/2)/2 >= sqrt(c(a+b)/2)
    (a+b+2c)/4 >= sqrt(c(a+b)/2)
    Ini belum mengarah langsung ke bentuk yang diinginkan.

Metode lain yang lebih umum dan dapat digeneralisasi adalah sebagai berikut:

Kita tahu bahwa untuk setiap bilangan real x, berlaku x² >= 0.
Kita akan menggunakan substitusi untuk membuktikan ketaksamaan ini.

Misalkan a = x³, b = y³, c = z³. Maka ketaksamaan menjadi:
(x³+y³+z³)/3 >= (x³y³z³)^(1/3)
(x³+y³+z³)/3 >= xyz

Kita tahu identitas:
x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

Juga, kita tahu bahwa x²+y²+z²-xy-yz-zx = 1/2 * [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²].
Karena kuadrat bilangan real selalu non-negatif, maka (x-y)² >= 0, (y-z)² >= 0, dan (z-x)² >= 0.
Oleh karena itu, x²+y²+z²-xy-yz-zx >= 0.

Karena a, b, c >= 0, kita dapat memilih x = a^(1/3), y = b^(1/3), dan z = c^(1/3). Maka x, y, z >= 0.
Dengan substitusi ini, ketaksamaan menjadi:
(a+b+c) - 3(abc)^(1/3) = (a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)) * [ (a^(1/3)-b^(1/3))² + (b^(1/3)-c^(1/3))² + (c^(1/3)-a^(1/3))² ] / 2

Karena setiap suku dalam perkalian di sisi kanan adalah non-negatif (karena merupakan jumlah dari kuadrat dan bilangan positif), maka:
(a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)) * [ (a^(1/3)-b^(1/3))² + (b^(1/3)-c^(1/3))² + (c^(1/3)-a^(1/3))² ] / 2 >= 0

Ini berarti:
(a+b+c) - 3(abc)^(1/3) >= 0

Dengan memindahkan 3(abc)^(1/3) ke sisi kanan, kita mendapatkan:
a+b+c >= 3(abc)^(1/3)

Terakhir, bagi kedua sisi dengan 3:
(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)

Ini membuktikan ketaksamaan AM-GM untuk tiga bilangan non-negatif.