Kelas 12Kelas 11mathGeometri
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik
Pertanyaan
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-3)^2+(y-4)^2=25$ dari titik di luar lingkaran $(5,-1)$.
Solusi
Verified
Persamaan garis singgungnya adalah y = -1 dan 20x - 21y = 121.
Pembahasan
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-3)^2+(y-4)^2=25$ dari titik di luar lingkaran (5,-1), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan menggunakan konsep gradien garis singgung. Misalkan titik singgungnya adalah $(x_1, y_1)$. Karena titik ini berada pada lingkaran, maka berlaku $(x_1-3)^2+(y_1-4)^2=25$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$. Dalam kasus ini, $a=3$, $b=4$, dan $r^2=25$. Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $(x_1-3)(x-3) + (y_1-4)(y-4) = 25$. Karena titik (5,-1) terletak pada garis singgung ini, kita substitusikan x=5 dan y=-1 ke dalam persamaan garis singgung: $(x_1-3)(5-3) + (y_1-4)(-1-4) = 25$, yang menyederhanakan menjadi $2(x_1-3) - 5(y_1-4) = 25$, atau $2x_1 - 6 - 5y_1 + 20 = 25$, sehingga $2x_1 - 5y_1 = 11$. Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel $x_1$ dan $y_1$: 1. $(x_1-3)^2+(y_1-4)^2=25$ 2. $2x_1 - 5y_1 = 11$ atau $x_1 = rac{11+5y_1}{2}$ Substitusikan $x_1$ dari persamaan (2) ke persamaan (1): $(rac{11+5y_1}{2}-3)^2+(y_1-4)^2=25$ $(rac{11+5y_1-6}{2})^2+(y_1-4)^2=25$ $(rac{5+5y_1}{2})^2+(y_1-4)^2=25$ $rac{25(1+y_1)^2}{4}+(y_1-4)^2=25$ $25(1+2y_1+y_1^2) + 4(y_1^2-8y_1+16) = 100$ $25 + 50y_1 + 25y_1^2 + 4y_1^2 - 32y_1 + 64 = 100$ $29y_1^2 + 18y_1 + 89 = 100$ $29y_1^2 + 18y_1 - 11 = 0$ Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadrat. Dengan memfaktorkan, kita dapatkan $(29y_1 - 11)(y_1 + 1) = 0$. Maka, $y_1 = 11/29$ atau $y_1 = -1$. Jika $y_1 = -1$, substitusikan ke $x_1 = rac{11+5y_1}{2}$: $x_1 = rac{11+5(-1)}{2} = rac{11-5}{2} = rac{6}{2} = 3$. Titik singgungnya adalah (3,-1). Substitusikan ke persamaan garis singgung awal: $(3-3)(x-3) + (-1-4)(y-4) = 25 ightarrow 0 - 5(y-4) = 25 ightarrow -5y + 20 = 25 ightarrow -5y = 5 ightarrow y = -1$. Jika $y_1 = 11/29$, substitusikan ke $x_1 = rac{11+5y_1}{2}$: $x_1 = rac{11+5(11/29)}{2} = rac{11 + 55/29}{2} = rac{(319+55)/29}{2} = rac{374/29}{2} = rac{187}{29}$. Titik singgungnya adalah (187/29, 11/29). Substitusikan ke persamaan garis singgung awal: $(rac{187}{29}-3)(x-3) + (rac{11}{29}-4)(y-4) = 25$ $(rac{187-87}{29})(x-3) + (rac{11-116}{29})(y-4) = 25$ $rac{100}{29}(x-3) - rac{105}{29}(y-4) = 25$ $100(x-3) - 105(y-4) = 25 imes 29$ $100x - 300 - 105y + 420 = 725$ $100x - 105y + 120 = 725$ $100x - 105y = 605$ Bagi dengan 5: $20x - 21y = 121$. Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = -1$ dan $20x - 21y = 121$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Lingkaran
Section: Garis Singgung Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?