Perbandingan antara koefisien suku keenam dan suku keempat

9:4

Pembahasan

Untuk menentukan perbandingan koefisien suku keenam dan suku keempat dari penguraian (2a+3b)^8, kita perlu menggunakan rumus binomial.

Rumus suku ke-(k+1) dari penguraian (x+y)^n adalah C(n, k) * x^(n-k) * y^k.

Dalam kasus ini, n=8, x=2a, dan y=3b.

Suku keenam berarti k=5:
Koefisien suku keenam = C(8, 5) * (2a)^(8-5) * (3b)^5 = C(8, 5) * (2a)^3 * (3b)^5
C(8, 5) = 8! / (5! * (8-5)!) = 8! / (5! * 3!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56
Koefisien suku keenam = 56 * (8a^3) * (243b^5) = 56 * 8 * 243 * a^3 * b^5 = 108.864 * a^3 * b^5

Suku keempat berarti k=3:
Koefisien suku keempat = C(8, 3) * (2a)^(8-3) * (3b)^3 = C(8, 3) * (2a)^5 * (3b)^3
C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56
Koefisien suku keempat = 56 * (32a^5) * (27b^3) = 56 * 32 * 27 * a^5 * b^3 = 48.384 * a^5 * b^3

Perbandingan koefisien suku keenam dan suku keempat adalah:
(108.864 * a^3 * b^5) / (48.384 * a^5 * b^3)
Perhatikan bahwa perbandingan koefisien hanya membandingkan angka, bukan variabel.
Perbandingan koefisien = 108.864 / 48.384

Mari kita sederhanakan perbandingan ini:
108.864 / 48.384 = 2.25

Jadi, perbandingannya adalah 108.864 : 48.384, yang dapat disederhanakan dengan membagi kedua sisi dengan faktor persekutuan terbesar.

Kita bisa menyederhanakannya dengan membandingkan bagian koefisien dari rumus binomial:
Koefisien suku ke-(k+1) = C(n, k) * (koefisien x)^(n-k) * (koefisien y)^k

Untuk suku keenam (k=5):
Koefisien = C(8, 5) * (2)^(8-5) * (3)^5 = 56 * 2^3 * 3^5 = 56 * 8 * 243 = 108.864

Untuk suku keempat (k=3):
Koefisien = C(8, 3) * (2)^(8-3) * (3)^3 = 56 * 2^5 * 3^3 = 56 * 32 * 27 = 48.384

Perbandingan koefisien suku keenam dan suku keempat = 108.864 : 48.384

Untuk menyederhanakan perbandingan ini, kita bisa membagi kedua angka dengan faktor persekutuan mereka. Mari kita coba membagi dengan 56 (karena C(8,5) = C(8,3) = 56):

Perbandingan = (56 * 8 * 243) : (56 * 32 * 27)
Perbandingan = (8 * 243) : (32 * 27)
Perbandingan = 1944 : 864

Sekarang kita sederhanakan 1944 : 864. Keduanya bisa dibagi 8:
1944 / 8 = 243
864 / 8 = 108

Perbandingan = 243 : 108. Keduanya bisa dibagi 27:
243 / 27 = 9
108 / 27 = 4

Perbandingan = 9 : 4