Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang melalui titik

Pusat: (-1, 3), Jari-jari: 5

Pembahasan

Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang melalui tiga titik, kita dapat menggunakan persamaan umum lingkaran $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ atau $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Kita akan menggunakan bentuk umum kedua karena lebih mudah untuk substitusi tiga titik.\nPersamaan umum lingkaran: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.\nSubstitusikan titik (3,6): $(3)^2 + (6)^2 + A(3) + B(6) + C = 0 \Rightarrow 9 + 36 + 3A + 6B + C = 0 \Rightarrow 3A + 6B + C = -45$ (Persamaan 1)\nSubstitusikan titik (2,-1): $(2)^2 + (-1)^2 + A(2) + B(-1) + C = 0 \Rightarrow 4 + 1 + 2A - B + C = 0 \Rightarrow 2A - B + C = -5$ (Persamaan 2)\nSubstitusikan titik (-4,7): $(-4)^2 + (7)^2 + A(-4) + B(7) + C = 0 \Rightarrow 16 + 49 - 4A + 7B + C = 0 \Rightarrow -4A + 7B + C = -65$ (Persamaan 3)\nSekarang kita memiliki sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (A, B, C).\nKurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1: $(3A + 6B + C) - (2A - B + C) = -45 - (-5) \Rightarrow A + 7B = -40$ (Persamaan 4)\nKurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3: $(-4A + 7B + C) - (2A - B + C) = -65 - (-5) \Rightarrow -6A + 8B = -60 \Rightarrow -3A + 4B = -30$ (Persamaan 5)\nSekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (A, B): \n1) $A + 7B = -40$ \n2) $-3A + 4B = -30$ \nDari Persamaan 4, kita dapatkan $A = -40 - 7B$. Substitusikan ke Persamaan 5: \n$-3(-40 - 7B) + 4B = -30 \Rightarrow 120 + 21B + 4B = -30 \Rightarrow 25B = -150 \Rightarrow B = -6$. \nSekarang cari nilai A: $A = -40 - 7(-6) = -40 + 42 = 2$. \nTerakhir, cari nilai C menggunakan Persamaan 2: $2A - B + C = -5 \Rightarrow 2(2) - (-6) + C = -5 \Rightarrow 4 + 6 + C = -5 \Rightarrow 10 + C = -5 \Rightarrow C = -15$. \nJadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$.\nUntuk mencari pusat dan jari-jari, kita ubah ke bentuk $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.\n$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) = 15$ \n$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 15 + 1 + 9$ \n$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 25$ \nPusat lingkaran adalah $(h,k) = (-1, 3)$.\nJari-jari lingkaran adalah $r = \sqrt{25} = 5$.