Tentukan semua sudut dalam 0<=theta<=360 yang memenuhi

0°, 180°, 360°, ≈70.53°, ≈289.47°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(3 \sin \theta = \tan \theta\) dalam rentang \(0 \le \theta \le 360^{\circ}\), kita perlu mengubah \(\tan \theta\) menjadi \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).\n\[
3 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\]
Kita dapat mengatur ulang persamaan ini menjadi:\n\[
3 \sin \theta - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 0
\]
Faktorkan \(\sin \theta\):\n\[
\sin \theta \left( 3 - \frac{1}{\cos \theta} \right) = 0
\]
Ini memberikan kita dua kemungkinan kondisi:\n
1. \(\sin \theta = 0\)
   Dalam rentang \(0^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ}\), \(\sin \theta = 0\) ketika \(\theta = 0^{\circ}\), \(\theta = 180^{\circ}\), dan \(\theta = 360^{\circ}\).

2. \(3 - \frac{1}{\cos \theta} = 0\)
   \(3 = \frac{1}{\cos \theta}\)
   \(\cos \theta = \frac{1}{3}\)
   Ada dua sudut dalam rentang \(0^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ}\) di mana \(\cos \theta = \frac{1}{3}\). Satu di kuadran pertama dan satu lagi di kuadran keempat.
   Menggunakan kalkulator, \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^{\circ}\).
   Sudut di kuadran keempat adalah \(360^{\circ} - 70.53^{\circ} \approx 289.47^{\circ}\).

Namun, kita harus memeriksa apakah ada nilai \(\theta\) yang membuat penyebut \(\cos \theta = 0\) di persamaan awal, karena \(\tan \theta\) tidak terdefinisi ketika \(\cos \theta = 0\). \(\cos \theta = 0\) terjadi pada \(\theta = 90^{\circ}\) dan \(\theta = 270^{\circ}\). Nilai-nilai ini tidak muncul sebagai solusi dari \(\sin \theta = 0\) atau \(\cos \theta = 1/3\), jadi kita tidak perlu khawatir tentang pembagian dengan nol.

Jadi, semua sudut yang memenuhi persamaan \(3 \sin \theta = \tan \theta\) dalam \(0 \le \theta \le 360^{\circ}\) adalah \(0^{\circ}\), \(180^{\circ}\), \(360^{\circ}\), \(\approx 70.53^{\circ}\), dan \(\approx 289.47^{\circ}\).