Tentukan suku tengah dari penjabaran binom (a/x + bx)^12

$924 a^6 b^6$

Pembahasan

Untuk menentukan suku tengah dari penjabaran binom $(a/x + bx)^{12}$, kita perlu menggunakan teorema binomial.

Teorema binomial menyatakan bahwa penjabaran dari $(p+q)^n$ adalah:
$(p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^{n-k} q^k$

Dalam kasus ini, $p = a/x$, $q = bx$, dan $n = 12$.

Suku ke-(k+1) dalam penjabaran adalah $T_{k+1} = \binom{n}{k} p^{n-k} q^k$.
$T_{k+1} = \binom{12}{k} (a/x)^{12-k} (bx)^k$
$T_{k+1} = \binom{12}{k} \frac{a^{12-k}}{x^{12-k}} b^k x^k$
$T_{k+1} = \binom{12}{k} a^{12-k} b^k x^{k - (12-k)}$
$T_{k+1} = \binom{12}{k} a^{12-k} b^k x^{2k - 12}$

Karena pangkatnya adalah 12 (bilangan genap), maka terdapat satu suku tengah.
Jumlah suku dalam penjabaran adalah $n+1 = 12+1 = 13$ suku.
Suku tengah adalah suku ke- $\frac{n+1+1}{2}$ = suku ke- $\frac{13+1}{2}$ = suku ke-7.

Untuk suku ke-7, berarti $k+1 = 7$, sehingga $k = 6$.

Substitusikan $k=6$ ke dalam rumus suku ke-(k+1):
$T_{6+1} = T_7 = \binom{12}{6} a^{12-6} b^6 x^{2(6) - 12}$
$T_7 = \binom{12}{6} a^6 b^6 x^{12 - 12}$
$T_7 = \binom{12}{6} a^6 b^6 x^0$
$T_7 = \binom{12}{6} a^6 b^6$

Sekarang kita hitung nilai koefisien binomial $\binom{12}{6}$:
$\binom{12}{6} = \frac{12!}{6!(12-6)!}$
$\binom{12}{6} = \frac{12!}{6!6!}$
$\binom{12}{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$\binom{12}{6} = \frac{12}{6 \times 2} \times \frac{10}{5} \times \frac{8}{4} \times \frac{9}{3} \times 11 	imes 7$
$\binom{12}{6} = 1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 11 	imes 7$
$\binom{12}{6} = 12 \times 11 \times 7$
$\binom{12}{6} = 132 \times 7$
$\binom{12}{6} = 924$

Jadi, suku tengahnya adalah $T_7 = 924 a^6 b^6$.