Tentukan turunan dari fungsi berikut: a.y=(x^2 tanx) b. Y

a. y' = 2x tan x + x² sec² x, b. Y' = cos x.

Pembahasan

Berikut adalah turunan dari fungsi-fungsi yang diberikan:

a. y = (x² tan x)
Untuk mencari turunan fungsi ini, kita akan menggunakan aturan perkalian (product rule), yaitu jika y = u * v, maka y' = u'v + uv'.
Misalkan u = x² dan v = tan x.
Maka, u' = d/dx (x²) = 2x.
M dan v' = d/dx (tan x) = sec² x.

Menggunakan aturan perkalian:
y' = (2x)(tan x) + (x²)(sec² x)
y' = 2x tan x + x² sec² x

b. Y = tan x / sec x
Untuk mencari turunan fungsi ini, kita dapat menyederhanakannya terlebih dahulu sebelum menurunkan, atau menggunakan aturan pembagian (quotient rule).

Metode 1: Penyederhanaan terlebih dahulu.
Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x dan sec x = 1 / cos x.
Maka, Y = (sin x / cos x) / (1 / cos x)
Y = (sin x / cos x) * (cos x / 1)
Y = sin x

Sekarang, kita turunkan Y = sin x:
dY/dx = cos x.

Metode 2: Menggunakan aturan pembagian.
Aturan pembagian menyatakan bahwa jika Y = u / v, maka Y' = (u'v - uv') / v².
Misalkan u = tan x dan v = sec x.
Maka, u' = sec² x.
M dan v' = sec x tan x.

Menggunakan aturan pembagian:
Y' = [(sec² x)(sec x) - (tan x)(sec x tan x)] / (sec x)²
Y' = [sec³ x - sec x tan² x] / sec² x
Y' = sec² x - tan² x

Kita tahu identitas trigonometri bahwa sec² x - tan² x = 1.
Jadi, Y' = 1.

Ada ketidaksesuaian antara kedua metode. Mari kita periksa kembali.
Pada Metode 1, Y = sin x, turunannya adalah cos x.
Pada Metode 2, Y = tan x / sec x = sin x / cos x * cos x = sin x. Jadi seharusnya turunannya adalah cos x.
Mari kita periksa kembali turunan v' = d/dx(sec x) = sec x tan x. Ini benar.
Mari kita periksa kembali perhitungan aturan pembagian.
Y' = (sec² x * sec x - tan x * sec x tan x) / sec² x
Y' = (sec³ x - sec x tan² x) / sec² x
Kita bisa faktorkan sec x dari pembilang:
Y' = [sec x (sec² x - tan² x)] / sec² x
Y' = [sec x (1)] / sec² x
Y' = sec x / sec² x
Y' = 1 / sec x
Y' = cos x.

Jadi, turunan dari Y = tan x / sec x adalah cos x.