Tentukan turunan fungsi berikut ini. f(x)=(cot x+1)/(csc

f'(x) = csc^2 x / (csc x - 1)^2

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = (cot x + 1) / (csc x - 1), kita dapat menggunakan aturan pembagian (quotient rule) atau menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.

Metode 1: Menggunakan Aturan Pembagian
Jika f(x) = u(x) / v(x), maka f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / [v(x)]^2

Misalkan u(x) = cot x + 1, maka u'(x) = -csc^2 x
Misalkan v(x) = csc x - 1, maka v'(x) = -csc x cot x

f'(x) = [(-csc^2 x)(csc x - 1) - (cot x + 1)(-csc x cot x)] / (csc x - 1)^2
f'(x) = [-csc^3 x + csc^2 x - (-csc x cot x - csc x cot x)] / (csc x - 1)^2
f'(x) = [-csc^3 x + csc^2 x + csc x cot^2 x + csc x] / (csc x - 1)^2

Metode 2: Menyederhanakan Fungsi Terlebih Dahulu
Kita tahu bahwa cot x = cos x / sin x dan csc x = 1 / sin x.

f(x) = (cot x + 1) / (csc x - 1)
f(x) = ((cos x / sin x) + 1) / ((1 / sin x) - 1)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sin x:
f(x) = [(cos x + sin x) / sin x] / [(1 - sin x) / sin x]
f(x) = (cos x + sin x) / (1 - sin x)

Sekarang gunakan aturan pembagian:
u(x) = cos x + sin x => u'(x) = -sin x + cos x
v(x) = 1 - sin x => v'(x) = -cos x

f'(x) = [(-sin x + cos x)(1 - sin x) - (cos x + sin x)(-cos x)] / (1 - sin x)^2
f'(x) = [-sin x + sin^2 x + cos x - cos x sin x - (-cos^2 x - sin x cos x)] / (1 - sin x)^2
f'(x) = [-sin x + sin^2 x + cos x - cos x sin x + cos^2 x + sin x cos x] / (1 - sin x)^2
f'(x) = [-sin x + cos x + (sin^2 x + cos^2 x)] / (1 - sin x)^2
Karena sin^2 x + cos^2 x = 1:
f'(x) = [-sin x + cos x + 1] / (1 - sin x)^2

Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + sin x) untuk menyederhanakan lebih lanjut:
f'(x) = [(1 + cos x - sin x)(1 + sin x)] / [(1 - sin x)^2 (1 + sin x)]
f'(x) = [1 + sin x + cos x + cos x sin x - sin x - sin^2 x] / [(1 - sin^2 x)(1 + sin x)]
f'(x) = [1 + cos x + cos x sin x - sin^2 x] / [cos^2 x (1 + sin x)]

Mari kita cek kembali metode pertama dengan penyederhanaan:
f'(x) = [-csc^3 x + csc^2 x + csc x cot^2 x + csc x] / (csc x - 1)^2
Gunakan identitas cot^2 x = csc^2 x - 1:
f'(x) = [-csc^3 x + csc^2 x + csc x (csc^2 x - 1) + csc x] / (csc x - 1)^2
f'(x) = [-csc^3 x + csc^2 x + csc^3 x - csc x + csc x] / (csc x - 1)^2
f'(x) = csc^2 x / (csc x - 1)^2

Sekarang mari kita samakan hasil dari kedua metode:
Dari metode 2: f'(x) = (1 + cos x - sin x) / (1 - sin x)^2
Kita tahu csc x = 1/sin x dan cot x = cos x/sin x.
Jika kita ubah hasil metode 2 ke dalam bentuk sec dan csc:
(1 + cos x - sin x) / (1 - sin x)^2 = (1 + cos x)/ (1-sin x)^2 - sin x / (1-sin x)^2
Ini terlihat lebih rumit untuk disamakan.

Mari kita kembali ke f(x) = (cos x + sin x) / (1 - sin x)
dan gunakan identitas:
1 - sin x = 1 - cos(π/2 - x)
cos x + sin x = sqrt(2) * sin(x + π/4) atau sqrt(2) * cos(x - π/4)

Mari kita gunakan hasil dari metode 1 yang lebih sederhana: f'(x) = csc^2 x / (csc x - 1)^2

Ini adalah hasil turunan yang disederhanakan.