Tentukan turunan kedua fungsi berikut. f(x)=(4x^2+1)^5

Turunan kedua f''(x) = 40(4x^2 + 1)^3 (36x^2 + 1).

Pembahasan

Untuk menentukan turunan kedua dari fungsi f(x) = (4x^2 + 1)^5, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Langkah 1: Tentukan turunan pertama (f'(x)).
Misalkan u = 4x^2 + 1. Maka f(x) = u^5.
Menggunakan aturan rantai, f'(x) = du^5/du * du/dx.

du/dx = d(4x^2 + 1)/dx = 8x.
du^5/du = 5u^4.

Maka, f'(x) = 5u^4 * 8x = 5(4x^2 + 1)^4 * 8x = 40x(4x^2 + 1)^4.

Langkah 2: Tentukan turunan kedua (f''(x)).
Sekarang kita perlu menurunkan f'(x) = 40x(4x^2 + 1)^4. Kita akan menggunakan aturan perkalian (u*v)' = u'v + uv' dan aturan rantai lagi.

Misalkan:
u = 40x  => u' = 40
v = (4x^2 + 1)^4

Untuk menurunkan v, kita gunakan aturan rantai lagi. Misalkan w = 4x^2 + 1, sehingga v = w^4.
dv/dx = dw^4/dw * dw/dx.
dw/dx = d(4x^2 + 1)/dx = 8x.
dw^4/dw = 4w^3.
Maka, dv/dx = 4w^3 * 8x = 4(4x^2 + 1)^3 * 8x = 32x(4x^2 + 1)^3.

Sekarang, terapkan aturan perkalian pada f'(x):
f''(x) = u'v + uv'
f''(x) = 40 * (4x^2 + 1)^4 + 40x * [32x(4x^2 + 1)^3]
f''(x) = 40(4x^2 + 1)^4 + 1280x^2(4x^2 + 1)^3

Kita bisa memfaktorkan (4x^2 + 1)^3 dari kedua suku:
f''(x) = (4x^2 + 1)^3 [40(4x^2 + 1) + 1280x^2]
f''(x) = (4x^2 + 1)^3 [160x^2 + 40 + 1280x^2]
f''(x) = (4x^2 + 1)^3 [1440x^2 + 40]

Kita juga bisa memfaktorkan 40 dari dalam kurung siku:
f''(x) = 40(4x^2 + 1)^3 (36x^2 + 1).

Jadi, turunan kedua dari fungsi f(x) = (4x^2 + 1)^5 adalah 40(4x^2 + 1)^3 (36x^2 + 1).